Übung Nr. 5

Abgabetermin: Donnerstag, den 25. November 1999
Aufgabe 1: (4 Punkte)
Ein Körper der Masse $m$ gleitet ohne Reibung unter dem Einfluß der Schwerkraft aus der Höhe $h$ eine parabolförmige Bahn $y = k x^{2}$ hinab (siehe Abbildung unten links). Wie groß ist die Kraft auf die Bahn am tiefsten Punkt $A$ des Paraboloids ?
Aufgabe 2: (6 Punkte)
Auf einer horizontalen Schiene, die um eine Achse senkrecht zur Schiene drehbar ist, stehen zwei Wagen mit jeweils gleicher Masse m, die reibungsfrei auf der Schiene beweglich sind (siehe Skript Seite 63). Die Wagen sind mit zwei Seilen über Umlenkrollen mit einer Feder der Federkonstanten $D$ verbunden. Die Wagen können in der Rechnung als punktförmig angenommen werden. Zwischen der Auslenkung $x$ der Feder und dem Abstand $r$ der Wagen von der Drehachse besteht die Beziehung $r = a + x$.
a) Ein Motor bringt die Anordnung mit der Winkelgeschwindigkeit $\omega$ in Rotation. Zeichnen Sie in einem Diagramm $r$ als Funktion von $\omega^{2}$ für $a = 5 \; cm$, $a = 0$ und $a = -5 \; cm$.
b) Für welche Werte von $a$ und $\omega$ ist die Lage der Wagen grundsätzlich instabil ?
c) Für welche Werte von $a$ und $\omega$ arbeitet die Anordnung als Fliehkraftregler ?
d) Für welche festen Werte von $a$ und $\omega$ herrscht für alle $r$ Gleichgewicht ?
Aufgabe 3: (5 Punkte)
Ein Pendel mit der Masse $m = 1 \; kg$ und einer starren Pendelachse der Länge $l = 50 \; cm$ ist mit einem reibungsfreien Scharnier an der Spitze einer vertikalen Drehachse befestigt. Der Pendelkörper liegt frei auf dem Mantel des zylinderförmigen Motorgehäuses mit Radius $r = 20 \; cm$ (siehe Abbildung unten mitte).
a) Bei welcher Winkelgeschwindigkeit $\omega$ hebt das Pendel vom Motorgehäuse ab ?
b) Bei einer bestimmten Winkelgeschwindigkeit sei der Auslenkwinkel $\varphi = 45^{o}$. Welches konstante Drehmoment muss aufgebracht werden, um das Pendel in 10 Sekunden wieder auf das Motorgehäuse aufsetzen zu lassen ?
Aufgabe 4: (5 Punkte)
An einer homogenen Stange der Länge $L= 1,95 \; m$ und Masse $M = 750 \; g$ hängen an beiden Enden Gewichte der Massen $m_{1} = 500 \; g$ und $m_{2} = 1000 \; g$ (siehe Abbildung unten rechts und Skript Seite 67). An welchem Punkt muss die Stange unterstützt werden, damit das System unter dem Einfluß der Schwerkraft im Gleichgewicht ist ?