\documentstyle[11pt,german,uebung]{article}
\begin{document}
\briefkopf
\Large
\centerline{Rechen"ubung am 4. November 1999}
\bf Der Gradient und die Existenz von Potentialen. \rm \newline
\normalsize
\vskip 5mm
In der Vorlesung wurde der Begriff des Gradienten eingef"uhrt. Die
Definition ist:
\begin{displaymath}
grad \Phi = \vec{\nabla} \Phi = (\frac{\partial \Phi}{\partial x},
\frac{\partial \Phi}{\partial y}, \frac{\partial \Phi}{\partial z}), 
\end{displaymath}
wobei $\Phi(x,y,z)$ eine skalare Funktion ist. Die wichtigsten  
Rechenregeln sind:
\begin{eqnarray}
\vec{\nabla}(\Phi_{1}+\Phi_{2}) &=& \vec{\nabla} \Phi_{1} 
+ \vec{\nabla} \Phi_{2} \nonumber \\
\vec{\nabla} (c \Phi) &=& c \vec{\nabla} \Phi, \; \; \; c=konstant \nonumber
\\
\vec{\nabla} (\Phi_{1} \Phi_{2}) &=& \Phi_{1} \vec{\nabla} \Phi_{2}
+ \Phi_{2} \vec{\nabla} \Phi_{1} \nonumber \\
\vec{\nabla} f(\Phi) &=& \frac{df}{d\Phi} \vec{\nabla}  \Phi \nonumber 
\end{eqnarray}
Diese Regeln sind "ahnlich den bekannten Differentiationsregeln von
Funktionen mit einer Ver"anderlichen. \newline
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\bf Aufgabe 1: \rm 
Sei $U(r)$ eine nur vom Radius $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ abh"angige
Funktion. Zeigen Sie, da"s dann gilt: 
$\vec{\nabla} U = (dU/dr)(\vec{r}/r)$. \newline
\vskip 5mm
In der Vorlesung wurde diskutiert, da"s bei einer konservativen Kraft
$\vec{F}$ die Arbeit, die ben"otigt wird um von einem Punkt $P_{1}$ zu
einem anderen Punkt $P_{2}$ zu gelangen, nicht vom dem Weg abh"angt,
der die beiden Punkte verbindet. Falls man auf zwei Integrationswegen 
zu verschiedenen Ergebnissen f"ur die Arbeit kommt, hat man es sicher 
mit einer nicht konservativen Kraft zu tun und es existiert kein 
Potential. Die Umkehrung ist dagegen nicht so einfach. Man kann durchaus
auf zwei bestimmten Wegen zum gleichen Ergebnis kommen, trotzdem mu"s
die Kraft nicht konservativ sein. Die Bedingung ist eben gerade,  
da"s man auf \underline{allen} Wegen zum gleichen Ergebnis kommt.
Falls allerdings eine skalare Funktion $\Phi(x,y,z)$ existiert, f"ur
die $\vec{\nabla} \Phi = \vec{F}$ ist, so ist immer
\begin{displaymath}
\int_{P_{1}}^{P_{2}} \vec{F} d\vec{r} = \int_{P_{1}}^{P_{2}} \vec{\nabla}
\Phi d\vec{r} = \Phi(P_{2}) - \Phi(P_{1}) 
\end{displaymath}
unabh"angig vom Integrationsweg. \newline
\vskip 5mm
\bf Aufgabe 2: \rm 
Zeigen Sie, da"s die Kraft $\vec{F}$ ein Potential besitzt, wenn
die folgenden Gleichungen erf"ullt sind:
\begin{displaymath}
\frac{\partial F_{x}}{\partial y} = \frac{\partial F_{y}}{\partial x}
\; \; \; \; \; \; \; \; 
\frac{\partial F_{y}}{\partial z} = \frac{\partial F_{z}}{\partial y}
\; \; \; \; \; \; \; \;
\frac{\partial F_{z}}{\partial x} = \frac{\partial F_{x}}{\partial z}
\end{displaymath}
\vskip 5mm
Diese drei Gleichungen von Aufgabe 2 geben uns also die Bedingung an, die
$\vec{F}$ erf"ullen mu"s, um eine konservative Kraft zu sein. 
Abschlie"send geben wir noch ein Verfahren an, wie man das Potential 
bestimmt, der Einfachheit halber f"ur 2-dimensionale Felder  
$\vec{F}=(f(x,y),g(x,y))$. Wir setzen also $F_{x}=f$ und $F_{y}=g$.  
Es gilt nach Voraussetzung
\begin{displaymath}
\frac{\partial \Phi}{\partial x} = f \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 
\frac{\partial \Phi}{\partial y} = g
\end{displaymath}
Aus der ersten Gleichung entnehmen wir, wobei $k(y)$ eine zun"achst 
beliebige Funktion ist, 
\begin{displaymath}
\Phi(x,y) = \int f(x,y) dx + k(y)
\end{displaymath}
Differenziert man diesen Ansatz nach $y$, so folgt
\begin{displaymath}
\frac{\partial \Phi}{\partial y} = \int \frac{\partial f}{\partial y} dx
+ \frac{dk(y)}{dy}
\end{displaymath}
Andererseits sollte nach obiger Voraussetzung 
$\partial \Phi / \partial y = g(x,y)$ sein. Setzen wir dieses in die 
vorherige Gleichung ein, so folgt f"ur $k(y)$:
\begin{displaymath}
\frac{dk}{dy} = g(x,y) - \int \frac{\partial f}{\partial y} dx 
\end{displaymath}
und nach unbestimmter Integration
\begin{displaymath}
k(y) = \int g(x,y) dy - \int \frac{\partial f}{\partial y} dx dy + C
\end{displaymath}
Einsetzen von $k(y)$ in die obige Gleichung f"ur $\Phi$ ergibt:
\begin{displaymath}
\Phi(x,y) = \int f(x,y) dx + \int g(x,y) dy - 
\int \frac{\partial f}{\partial y} dx dy + C   
\end{displaymath}
Im letzten Integral kann nat"urlich $\partial f / \partial y$ durch
$\partial g / \partial x$ ersetzt werden. Diese Formel kann leicht
auf 3-dimensionale Felder verallgemeinert werden.
\newline
\vskip 5mm
\bf Aufgabe 3: \rm 
Zeigen Sie, da"s die Kraft $\vec{F} = (2xy,x^{2} + 3y^{2})$
eine konservative Kraft ist und bestimmen Sie das Potential. 
\newpage
\centerline{L\"osungen zu den Rechen\"ubungen am 4.12.2003} 
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Vorbemerkung: In der Mathematik bezeichnet man h\"aufig $\Phi = - W_{pot}$ als Potential und
$W_{pot}$ als potentielle Energie. 
Darauf sollte noch einmal ausdr\"ucklich hingewiesen werden. \newline
{\bf Aufgabe 1:} \newline
Es gilt z.B.
\begin{displaymath}
\frac{\partial U}{\partial x} = \frac{dU}{dr} \cdot \frac{\partial r}{\partial x} = 
\frac{dU}{dr} \cdot  \frac{x}{r} .
\end{displaymath}
Entsprechend f\"ur die anderen Komponenten. Daraus folgt
\begin{displaymath}
\vec{\nabla} U = \frac{dU}{dr} \frac{1}{r} \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right)
= \frac{dU}{dr} \cdot \frac{\vec{r}}{r}.
\end{displaymath}
{\bf Aufgabe 2:} \newline
Es gilt
\begin{displaymath}
\vec{F} = \left( \begin{array}{c} F_{x} \\ F_{y} \\ F_{z} \end{array} \right) 
= \vec{\nabla} \Phi = \left( \begin{array}{c} \frac{\partial \Phi}{\partial x} \\
\frac{\partial \Phi}{\partial y} \\ \frac{\partial \Phi}{\partial z} \end{array} \right)
\end{displaymath}
Wir erhalten dann z.B.
\begin{displaymath}
\frac{\partial F_{x}}{\partial y} = \frac{\partial }{\partial y} \left( 
\frac{\partial \Phi}{\partial x} \right) = \frac{\partial }{\partial x} \left(
\frac{\partial \Phi}{\partial y} \right) = \frac{\partial F_{y}}{\partial x}
\end{displaymath}
Entsprechend f\"ur die anderen beiden Gleichungen. \newline
{\bf Aufgabe 3:} \newline
Wegen 
\begin{displaymath}
\frac{\partial F_{x}}{\partial y} = 2x = \frac{\partial F_{y}}{\partial x}
\end{displaymath}
ist die Gleichung von Aufgabe 2 erf\"ullt. Wir benutzen die letzte Gleichung im Aufgabenblatt 
und erhalten
\begin{eqnarray}
\Phi(x,y) &=& \int 2 x y \; dx + \int (x^{2} + 3 y^{2} ) dy - \int 2x \; dx dy + C \nonumber \\
 &=& y x^{2} + x^{2} y +  y^{3} - x^{2} y + C \nonumber \\
 &=& y^{3} + x^{2} y + C \nonumber
\end{eqnarray}
Wir pr\"ufen nochmal nach, dass wirklich gilt
\begin{eqnarray}
\frac{\partial \Phi}{\partial x} &=& 2 x y \nonumber \\
\frac{\partial \Phi}{\partial y} &=& x^{2} + 3 y^{2} \nonumber 
\end{eqnarray}
\end{document}