Rechenübung am 28. Oktober 1999
Differentiation und Integration von Vektoren
In der Vorlesung wurden zeitabhängige Vektoren in der Form

\begin{displaymath}
\vec{r}(t) = \left( \begin{tabular}{c} $x(t)$\ \\ $y(t)$\ \\ $z(t)$\ \end{tabular}\right)
\end{displaymath}

dargestellt. Man kann das ganze auch als Summe dreier Einheitsvektoren schreiben:

\begin{displaymath}
\vec{r}(t) = \left( \begin{tabular}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{tabu...
...z(t)
= \vec{e}_{x} x(t) + \vec{e}_{y} y(t) + \vec{e}_{z} z(t).
\end{displaymath}

Mit dieser Schreibweise werden wir uns später bei der Behandlung von Kugelkoordinaten und Zylinderkoordinaten (sog. krummliniege Koordinaten) noch intensiver befassen. Für die Skalarprodukte der Einheitsvektoren gilt
$\displaystyle \vec{e}_{i} \cdot \vec{e}_{j}$ $\textstyle =$ $\displaystyle 1 \; \; \; fuer \; \; i = j$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle 0 \; \; \; fuer \; \; i \neq j$  

Ableitung nach der Zeit und Integration über die Zeit wird komponentenweise durchgeführt:
$\displaystyle \frac{d\vec{r}(t)}{dt}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \left( \begin{tabular}{c} $\frac{dx(t)}{dt}$\ \\
$\frac{dy(t)}{d...
... \frac{dx(t)}{dt} + \vec{e}_{y} \frac{dy(t)}{dt} +
\vec{e}_{z} \frac{dz(t)}{dt}$  
$\displaystyle \int \vec{r}(t) dt$ $\textstyle =$ $\displaystyle \left( \begin{tabular}{c} $\int x(t) dt$\ \\
$\int y(t) dt$
\\  ...
... \vec{e}_{x} \int x(t) dt
+ \vec{e}_{y} \int y(t) dt + \vec{e}_{z} \int z(t) dt$  

Weitere Regeln für die Ableitungen nach der Zeit:
$\displaystyle \frac{d}{dt} (\vec{r}_{1} + \vec{r}_{2})$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{d\vec{r}_{1}}{dt}
+\frac{d\vec{r}_{2}}{dt}$  
$\displaystyle \frac{d}{dt} ( \varphi(t) \vec{r}(t) )$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{d\varphi}{dt} \vec{r}
+ \varphi(t) \frac{d\vec{r}}{dt}$  
$\displaystyle \frac{d}{dt} (\vec{r}_{1} \cdot \vec{r}_{2})$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{d\vec{r}_{1}}{dt}
\cdot \vec{r}_{2} + \vec{r}_{1} \cdot \frac{d\vec{r}_{2}}{dt}$  
$\displaystyle \frac{d}{dt}( \vec{r}_{1} \times \vec{r}_{2})$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{d\vec{r}_{1}}{dt}
\times \vec{r}_{2} + \vec{r}_{1} \times \frac{d\vec{r}_{2}}{dt}$  
$\displaystyle \frac{d}{dt} \vec{r}(\varphi(t))$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{d\vec{r}}{d\varphi} \cdot
\frac{d\varphi}{dt}$  


Aufgabe 1:
Gegeben seien zwei Vektoren $\vec{u} = \vec{e}_{x} + \vec{e}_{y}$ und $\vec{w} = \vec{e}_{y} + \vec{e}_{z}$, wobei $\vec{e}_{x}$, $\vec{e}_{y}$ und $\vec{e}_{z}$ die Einheitsvektoren entlang der Achsen eines rechtwinkligen Koordinatensystems sind. Bestimmen Sie die Einheitsvektoren, die sowohl auf $\vec{u}$ als auch auf $\vec{w}$ senkrecht stehen.
Aufgabe 2:
Die Geschwindigkeit eines Körpers werde in einem rechtwinkligen Koordinatensystem durch folgende Gleichung beschrieben:

\begin{displaymath}
\vec{v}(t) = \left( \begin{tabular}{c} $v_{x}$\ \\ $v_{y}$\ ...
...
$b \; cos(\omega t)$\ \\ $v_{0} + ct$\ \end{tabular} \right).
\end{displaymath}


a) Berechnen Sie den Ortsvektor $\vec{r}(t)$, der die Bahn des Körpers im Raum beschreibt ! Skizzieren Sie die Projektion der Bahn in die $x-y$ Ebene.
b) Welche Beschleunigungen wirken auf den Körper ?
Aufgabe 3:
Sei $\vec{e}(t)$ ein Einheitsvektor, der seine Richtung im Raum als Funktion der Zeit ändert. Berechnen Sie $\vec{e} \cdot d\vec{e}/dt$.
Aufgabe 4:
Ein Körper bewegt sich auf einer Geraden

\begin{displaymath}
\vec{r}(t) = \frac{\vec{r}_{1} + t \vec{r}_{2}}{1 + t}.
\end{displaymath}

a) Zu welchen Zeiten $t$ ist $\vec{r} = \vec{r}_{1}$ b.z.w. $\vec{r} = \vec{r}_{2}$ ?
b) Zeigen Sie, daß die Geschwindigkeit des Körpers immer entlang der Geraden vom Endpunkt des Vektors $\vec{r}_{1}$ zum Endpunkt des Vektors $\vec{r}_{2}$ zeigt !
c) Wird der Körper beschleunigt oder gebremst ?
Lösungen zu den Rechenübungen am 28. Oktober 1999
Aufgabe 1:
Als Ansatz setzen wir allgemein

\begin{displaymath}
\vec{v} = v_{x} \vec{e}_{x} + v_{y} \vec{e}_{y} + v_{z} \vec{e}_{z}.
\end{displaymath}

Der Vektor $\vec{v}$ soll senkrecht auf $\vec{u}$ und $\vec{w}$ stehen, also
$\displaystyle \vec{u} \cdot \vec{v}$ $\textstyle =$ $\displaystyle v_{x} + v_{y} = 0 \; \; \; \; \; \rightarrow
\; \; \; \; \; v_{y} = - v_{x}$  
$\displaystyle \vec{w} \cdot \vec{v}$ $\textstyle =$ $\displaystyle v_{y} + v_{z} = 0 \; \; \; \; \; \rightarrow
\; \; \; \; \; v_{z} = - v_{y} = v_{x}$  

Die orthogonalen Vektoren sind also $\vec{v} = v_{x}(\vec{e}_{x} - \vec{e}_{y} + \vec{e}_{z})$. Für einen Einheitsvektor gilt $\vec{v} \cdot \vec{v} = 1$, d.h.

\begin{displaymath}
\vec{v} \cdot \vec{v} = v_{x}^{2} (1 + 1 + 1) = 3 v_{x}^{2} ...
... \; \rightarrow \; \; \; \; \; v_{x} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}.
\end{displaymath}

Die Lösung ist also

\begin{displaymath}
\vec{v} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} ( \vec{e}_{x} - \vec{e}_{y} + \vec{e}_{z}).
\end{displaymath}


Aufgabe 2:
a) Gesucht ist

\begin{displaymath}
\vec{r}(t) = \left( \begin{tabular}{c} $\int v_{x} dt$\ \\ $...
...ar}{c}
$x_{0}$\ \\ $y_{0}$\ \\ $z_{0}$\ \end{tabular} \right).
\end{displaymath}

Die $x$- und $y$- Komponenten können geschrieben werden als

\begin{displaymath}
\frac{(x-x_{0})^{2}}{a^{2}/\omega^{2}} + \frac{(y-y_{0})^{2}}{b^{2}/\omega^{2}}
= 1
\end{displaymath}

Daher ergibt die Projektion auf die $x-y$ Ebene eine Ellipse mit den Achsen $a/\omega$ und $b/\omega$ und dem Mittelpunkt $(x_{0}, y_{0})$.

b) Die Beschleunigung ist

\begin{displaymath}
\vec{a}(t) = \left( \begin{tabular}{c} $a_{x}$\ \\ $a_{y}$\ ...
...\
$-a\omega \; sin(\omega t)$\ \\ $c$\ \end{tabular} \right).
\end{displaymath}


Aufgabe 3:
Für einen Einheitsvektor gilt $\vec{e} \cdot \vec{e} = 1$. Differentiation dieses Ausdrucks ergibt

\begin{displaymath}
\frac{d}{dt}(\vec{e} \cdot \vec{e}) = \frac{d\vec{e}}{dt} \cdot \vec{e}
+ \vec{e} \cdot \frac{d\vec{e}}{dt} = 0.
\end{displaymath}

Das Skalarprodukt ist kommutativ, daher muss $\vec{e} \cdot d\vec{e}/dt = 0$ sein.
Aufgabe 4:
a) Zunächst ist klar, daß für $t=0$ der Vektor $\vec{r} = \vec{r}_{1}$ ist. Wir schreiben den Ausdruck etwas um:

\begin{displaymath}
\vec{r} = \frac{\vec{r}_{1}}{1+t} + \frac{t}{1+t} \vec{r}_{2}
= \frac{\vec{r}_{1}}{1+t} + \frac{1}{1/t + 1} \vec{r}_{2}.
\end{displaymath}

Hier sieht man jetzt, daß für $t=\infty$ der Vektor $\vec{r} = \vec{r}_{2}$ wird.
b) Die Geschwindigkeit ist

\begin{displaymath}
\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = - \frac{1}{(1+t)^{2}} (\vec{...
...+t} \vec{r}_{2} =
\frac{\vec{r}_{2} - \vec{r}_{1}}{(1+t)^{2}}
\end{displaymath}

Die Richtung der Geschwindigkeit ist also immer durch $\vec{r}_{2}
- \vec{r}_{1}$ gegeben.
c) Die Beschleunigung ist

\begin{displaymath}
\vec{a} = \frac{2(\vec{r}_{1}-\vec{r}_{2})}{(1+t)^{3}},
\end{displaymath}

zeigt von $\vec{r}_{2}$ nach $\vec{r}_{1}$, also entgegengestzt zur Geschwindigkeit. Der Körper wird also gebremst. Insbesondere ist die Beschleunigung nicht konstant.



Harm Fesefeldt
2007-08-02