Rechenübung am 28. Oktober 1999
Differentiation und Integration von Vektoren
In der Vorlesung wurden zeitabhängige Vektoren in der Form
dargestellt. Man kann das ganze auch als Summe dreier Einheitsvektoren
schreiben:
Mit dieser Schreibweise werden wir uns später bei der Behandlung von
Kugelkoordinaten und Zylinderkoordinaten (sog. krummliniege Koordinaten)
noch intensiver befassen. Für die Skalarprodukte der Einheitsvektoren
gilt
Ableitung nach der Zeit und Integration über die Zeit wird komponentenweise
durchgeführt:
Weitere Regeln für die Ableitungen nach der Zeit:
Aufgabe 1:
Gegeben seien zwei Vektoren
und
, wobei ,
und die Einheitsvektoren entlang der Achsen eines
rechtwinkligen Koordinatensystems sind. Bestimmen Sie die Einheitsvektoren,
die sowohl auf als auch auf senkrecht stehen.
Aufgabe 2:
Die Geschwindigkeit eines Körpers werde in einem rechtwinkligen
Koordinatensystem durch folgende Gleichung beschrieben:
a) Berechnen Sie den Ortsvektor , der die Bahn des Körpers
im Raum beschreibt ! Skizzieren Sie die Projektion der Bahn in die
Ebene.
b) Welche Beschleunigungen wirken auf den Körper ?
Aufgabe 3:
Sei ein Einheitsvektor, der seine Richtung im Raum als
Funktion der Zeit ändert. Berechnen Sie
.
Aufgabe 4:
Ein Körper bewegt sich auf einer Geraden
a) Zu welchen Zeiten ist
b.z.w.
?
b) Zeigen Sie, daß die Geschwindigkeit des Körpers immer entlang der
Geraden vom Endpunkt des Vektors zum Endpunkt des Vektors
zeigt !
c) Wird der Körper beschleunigt oder gebremst ?
Lösungen zu den Rechenübungen am 28. Oktober 1999
Aufgabe 1:
Als Ansatz setzen wir allgemein
Der Vektor soll senkrecht auf und stehen,
also
Die orthogonalen Vektoren sind also
. Für einen
Einheitsvektor gilt
, d.h.
Die Lösung ist also
Aufgabe 2:
a) Gesucht ist
Die - und - Komponenten können geschrieben werden als
Daher ergibt die Projektion auf die Ebene eine Ellipse mit den Achsen
und und dem Mittelpunkt
.
b) Die Beschleunigung ist
Aufgabe 3:
Für einen Einheitsvektor gilt
.
Differentiation dieses Ausdrucks ergibt
Das Skalarprodukt ist kommutativ, daher muss
sein.
Aufgabe 4:
a) Zunächst ist klar, daß für der Vektor
ist. Wir schreiben den Ausdruck etwas um:
Hier sieht man jetzt, daß für der Vektor
wird.
b) Die Geschwindigkeit ist
Die Richtung der Geschwindigkeit ist also immer durch
gegeben.
c) Die Beschleunigung ist
zeigt von nach , also entgegengestzt zur
Geschwindigkeit. Der Körper wird also gebremst. Insbesondere ist
die Beschleunigung nicht konstant.
Harm Fesefeldt
2007-08-02