Rechenübung am 21. Oktober 1999

Einige einfache Aufgaben

zur Addition von Geschwindigkeiten

Aufgabe 1:
Angenommen, Sie wollen senkrecht zum Ufer in 200 Sekunden über einen 100 Meter breiten Fluss schwimmen. Die Flussgeschwindigkeit des Wassers beträgt 1 $m/s$. Wie schnell müssen Sie schwimmen können und in welche Richtung müssen Sie schwimmen ?
Aufgabe 2:
Ein Schiff segelt bei ruhigem Wasser mit einer Geschwindigkeit von 12 Knoten hart am Wind nach Westen. Der Wind kommt aus Südwesten mit einer Geschwindigkeit von 3,5 $m/s$. Welche Windgeschwindigkeit und welche Windrichtung relativ zur Fahrtrichtung messen Sie als Skipper auf dem Schiff ?
Aufgabe 3:
Ein Rheindampfer fährt zwischen zwei 100 $km$ entfernten Orten hin und her. Mit dem Strom braucht er 4 Stunden, gegen den Strom 10 Stunden. Wie groß ist die Geschwindigkeit des Stromes und wie groß ist die Geschwindigkeit des Dampfers relativ zum Wasser ?
Aufgabe 4:
Ein (natürlich punktförmiger) Tintenfisch schläft in einer Ecke eines rechtwinkligen Aquariums an der Wasseroberfläche. Das Aquarium ist 8 $m$ lang und 3 $m$ breit. Die Wassertiefe beträgt 2,5 $m$. In der Mitte des Bodens befindet sich ein Futternapf.
a) Wählen Sie ein geeignetes Koordinatensystem und geben Sie die Komponenten des Vektors vom Tintenfisch zum Futternapf an !
b) Welche Strecke legt der Tintenfisch zurück, wenn er geradlinig zum Futternapf schwimmt und welche Zeit benötigt er bis dahin bei einer konstanten Geschwindigkeit von 30 $cm/s\;$?
c) Wie lang ist der kürzeste Weg, wenn er sich mit seinen Saugnäpfen an den Wänden entlanghangelt und wie lange braucht er in diesem Fall bei einer Geschwindigkeit von 10 $cm/s$ ?

Lösungen zu den Rechenübungen Nr.1

am 21. Oktober 1999

Aufgabe 1:
Bezeichnen wir die Flussgeschwindigkeit mit $\vec{v}_{1}$ und die Schwimmgeschwindigkeit relativ zum Wasser mit $\vec{v}_{2}$, so ergibt sich die Gesamtgeschwindigkeit zu $\vec{v} = \vec{v}_{1} + \vec{v}_{2}$.

Mit $v = 100/200 \; m/s = 0,5 \; m/s$ und $v_{1} = 1 \; m/s$ folgt $v_{2} = \sqrt{v^{2} + v_{1}^{2}} = \sqrt{1,25} \; m/s = 1,12 \; m/s$. Der Winkel beträgt $\alpha = arctg(v_{1}/v) = arctg(2) = 63^{o}$.
Aufgabe 2:
Bei der Umrechnung von Knoten in $km/h$ bzw $m/s$ muss zwischen Landmeile ( = 1,63 $km$) und nautischer Meile ( = 1,85 $km$) unterschieden werden. Bei der Einheit Knoten ist offensichtlich die nautische Meile gemeint. Daher gilt: $12 \; Knoten = 12 \cdot 1,85 \; km/h = 6,17 \; m/s$. Wir wählen ein Koordinatensystem mit x-Achse noch Osten und y-Achse nach Norden:

Schiff und Wind haben die Geschwindigkeiten:

$$\vec{v}_{Schiff} = \left( \begin{tabular}{c} -6,17 $\; m/s$\... ...} 2,47 $\; m/s$\ \\ 2,47 $\; m/s$\ \\ 0 \end{tabular} \right).$$

Der auf dem Schiff gemessene scheinbare Wind ist

$$\vec{v} = \vec{v}_{Wind} - \vec{v}_{Schiff} = \left( \begin{... ...} 8,64 $\; m/s$\ \\ 2,47 $\; m/s$\ \\ 0 \end{tabular} \right).$$

Daraus folgt $\vert\vec{v}\vert \approx 9 \; m/s$.
Das Skalarprodukt beider Vektoren ist

$$\vec{v}_{Schiff} \cdot \vec{v} = \vert\vec{v}_{Schiff}\vert \vert\vec{v}\vert cos\varphi.$$

Der Winkel zwischen scheinbarem Wind und Fahrtrichtung ist damit:

$$cos\varphi = \frac{\vec{v}_{Schiff} \cdot \vec{v}}{\vert\vec... ...\vec{v}\vert} = \frac{-6,17 \cdot 8,64}{6,17 \cdot 9} = -0.96.$$

Also: $\varphi \approx 164^{o}$.
Aufgabe 3:
Sei $v_{1}$ die Geschwindigkeit des Stromes und $v_{2}$ die Geschwindikeit des Dampfers relativ zum Wasser, so gilt mit $L=100 \; km$

$$\frac{L}{t_{1}} = v_{2}+v_{1}$$

$$\frac{L}{t_{2}} = v_{2}-v_{1}$$

Aufgelöst nach $v_{1}$ und $v_{2}$ folgt:

$$v_{1} = \frac{L}{2} \cdot \frac{t_{2}-t_{1}}{t_{1}t_{2}} = 7,5 \; km/h$$

$$v_{2} = \frac{L}{2} \cdot \frac{t_{2}+t_{1}}{t_{1}t_{2}} = 17,5 \; km/h$$

Aufgabe 4:
a) In einem rechtwinkligen Koordinatensystem stellen wir Tintenfisch und Futternapf als Vektoren dar:

$$\vec{r}_{T} = \left( \begin{tabular}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{tab... ...gin{tabular}{c} 1,5 \\ 4 \\ -2,5 \end{tabular}\right) \cdot m.$$

b) Der direkte Weg wird durch den Vektor

$$\vec{r}_{W} = \left( \begin{tabular}{c} 1,5 \\ 4 \\ -2,5 \end{tabular}\right) \cdot m$$

beschrieben, mit der Länge $\vert\vec{r}_{W}\vert = 4,95 \; m$. Die Zeit beträgt $t = \vert\vec{r}_{W}\vert/v = 495 \; cm/(30 \; cm/s) = 16,5 \; s$.
c) Um den kürzesten Weg zu finden, klappen wir die Seitenwände einfach auf,

Wir erhalten dann zwei Möglichkeiten, Weg A oder Weg B, von denen der zweite mit $5,66 \; m$ Länge offensichtlich der kürzere ist. Daher $t_{2} = 566 \; cm/(10 \; cm/s) = 56,6 \; s$.