Lösungen zur Übung Nr. 12
Besprechung: Donnerstag, den 27. Januar 2000
Aufgabe 1: (7 Punkte)
Die meisten werden hier sicherlich das Hagen-Poiseuile'sche Gesetz anwenden
und schreiben
Das Hagen-Poiseuile'sche gilt allerdings nur für kleine Durchmesser und
große Längen. Wir werden hier deshalb noch eine exaktere Rechnung
angeben. Hierzu erweitern wir die Bernoulli- Gleichung mit dem zur
Reibungskraft zugehörigen Druck:
wobei
und . Mit
und folgt
Daraus folgt
Einsetzen der Zahlenwerte liefert hier
. Der
Unterschied ist also schon beträchtlich. Man kann aus der vorherigen
Formel das Hagen-Poiseuile'sche Gesetz wieder annähern. Dazu schreiben wir
Falls der zweite Term unter der Wurzel klein gegen 1 ist, kann die Wurzel
entwickelt werden,
Dieses ergibt
Aufgabe 2: (6 Punkte)
Es wirken zwei Kräfte, einmal die Schwerkraft
,
zum anderen die Reibungskraft
. Das
Geschwindigkeitsgefälle zwischen dem Würfel und der Ebene ist
linear, wenn man von Randeffekten absieht, daher gilt .
Bei der stationären Bewegung heben sich beide Kräfte gerade auf, daher
folgt
oder
Aufgabe 3: (7 Punkte)
Diese Aufgabe dient im wesentlichen, um den Umgang mit komplexen Größen
zu üben.
a) Die Bewegungsgleichung ist
Hierbei ist die um den Auftrieb verringerte Masse des Pendelkörpers,
Wie in der Vorlesung diskutiert, versuchen wir den Lösungsansatz
mit den Ableitungen
Einsetzen in die DGL führt auf
mit den Lösungen
Die zwei partikulären Lösungen sind
mit
Die allgemeine Lösung ist die Summe dieser beiden partikulären
Lösungen. Setzen wir
und beachten
für alle komplexen und reellen ,
so folgt auch
Eine zusätzliche Phase erhält man, wenn
ist. Dann
folgt
Für die Schwingungsdauer erhalten wir
b) Der aperiodische Grenzfall wird erreicht für , d.h.
oder
Harm Fesefeldt
2007-08-02