\documentstyle[11pt,german,uebung]{article}
\begin{document}
\briefkopf
\Large
\centerline{L\"osungen zur "Ubung Nr. 12}
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\normalsize Besprechung: {\bf Donnerstag, den 27. Januar 2000}
\newline \vskip 2mm
{\bf Aufgabe 1:} \hspace{10cm} (7 Punkte) \newline
Die meisten werden hier sicherlich das Hagen-Poiseuile'sche Gesetz anwenden
und schreiben
\begin{displaymath}
v = \frac{Q}{A} = \frac{1}{\pi r^{2}} \frac{\pi(p_{1}-p_{2})}{8 \eta l} r^{4}
= \frac{p_{1} - p_{2}}{8 \eta l} r^{2} = \frac{p_{1} - p_{2}}
{32 \eta l} d^{2} = 0,71 \; m/s.
\end{displaymath}
Das Hagen-Poiseuile'sche gilt allerdings nur f\"ur kleine Durchmesser und
gro"se L\"angen. Wir werden hier deshalb noch eine exaktere Rechnung
angeben. Hierzu erweitern wir die Bernoulli- Gleichung mit dem zur
Reibungskraft zugeh\"origen Druck:
\begin{displaymath}
p_{1} + \frac{1}{2} \rho v_{1}^{2} = p_{2} + \frac{1}{2} \rho v_{2}^{2}
+ \frac{F_{R}}{A},
\end{displaymath}
wobei $F_{R} = 8 \pi \eta l v_{2}$ und $A = \pi r^{2}$. Mit $v_{1} \approx 0$
und $v_{2} = v$ folgt
\begin{displaymath}
\frac{2}{\rho} (p_{1} - p_{2}) = v^{2} + \frac{64 \eta l}{\rho d^{2}} v
= \left( v + \frac{32 \eta l}{\rho d^{2}} \right)^{2} - \left(
\frac{32 \eta l}{\rho d^{2}} \right)^{2}.
\end{displaymath}
Daraus folgt
\begin{displaymath}
v = \sqrt{ \frac{2}{\rho}(p_{1}-p_{2}) + \left( \frac{32 \eta l}{\rho d^{2}}
\right)^{2}} - \left( \frac{32 \eta l}{\rho d^{2}} \right).
\end{displaymath}
Einsetzen der Zahlenwerte liefert hier $v = v_{2} = 0,65 \; m/s$. Der
Unterschied ist also schon betr\"achtlich. Man kann aus der vorherigen
Formel das Hagen-Poiseuile'sche Gesetz wieder ann\"ahern. Dazu schreiben wir
\begin{displaymath}
v = \left(\frac{32 \eta l}{\rho d^{2}} \right) \sqrt{ 1 +
\frac{2(p_{1}-p_{2})}{\rho} \left( \frac{\rho d^{2}}{32 \eta l} \right)^{2}}
- \left( \frac{32 \eta l}{\rho d^{2}} \right).
\end{displaymath}
Falls der zweite Term unter der Wurzel klein gegen 1 ist, kann die Wurzel
entwickelt werden,
\begin{displaymath}
v \approx \left( \frac{32 \eta l}{\rho d^{2}} \right) \left( 1 +
\frac{(p_{1} - p_{2})}{\rho} \left( \frac{\rho d^{2}}{32 \eta l} \right)^{2}
\right) - \left( \frac{32\eta l}{\rho d^{2}} \right).
\end{displaymath}
Dieses ergibt
\begin{displaymath}
v \approx \frac{(p_{1}-p_{2})}{\rho} \frac{\rho d^{2}}{32 \eta l}
= \frac{(p_{1}-p_{2})}{32 \eta l} d^{2}
\end{displaymath} 
\newline \vskip 2cm
{\bf Aufgabe 2:} \hspace{10cm} (6 Punkte) \newline
Es wirken zwei Kr\"afte, einmal die Schwerkraft $F_{g} = m g \; sin\alpha$,
zum anderen die Reibungskraft $F_{R} = \eta a^{2} dv/dz$. Das 
Geschwindigkeitsgef\"alle $dv/dz$ zwischen dem W\"urfel und der Ebene ist
linear, wenn man von Randeffekten absieht, daher gilt $dv/dz = v/d$.
Bei der station\"aren Bewegung heben sich beide Kr\"afte gerade auf, daher
folgt
\begin{displaymath}
m g \; sin\alpha = \eta a^{2} \frac{v_{stat}}{d}
\end{displaymath}
oder
\begin{displaymath}
v_{stat} = \frac{\rho_{Cu} a g d \; sin\alpha}{\eta} = 0,022 \; m/s.
\end{displaymath} 
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{\bf Aufgabe 3:} \hspace{10cm} (7 Punkte) \newline
Diese Aufgabe dient im wesentlichen, um den Umgang mit komplexen Gr\"o"sen
zu \"uben. \newline
a) Die Bewegungsgleichung ist
\begin{displaymath}
m \frac{d^{2}x}{dt^{2}} = - m' \frac{g}{L} x - \beta \frac{dx}{dt}.
\end{displaymath}
Hierbei ist $m'$ die um den Auftrieb verringerte Masse des Pendelk\"orpers,
\begin{displaymath}
m' = m - \frac{4}{3} \pi \rho r^{3} = 0,032 \; kg = 32 \; g.
\end{displaymath}
Wie in der Vorlesung diskutiert, versuchen wir den L\"osungsansatz
\begin{displaymath}
x(t) = A e^{kt}
\end{displaymath}
mit den Ableitungen
\begin{eqnarray}
\frac{dx}{dt} &=& A k e^{kt} \nonumber \\
\frac{d^{2}x}{dt^{2}} &=& A k^{2} e^{kt} \nonumber 
\end{eqnarray}
Einsetzen in die DGL f\"uhrt auf 
\begin{displaymath}
k^{2} + \frac{\beta}{m} k + \frac{m'g}{mL} = 0
\end{displaymath}
mit den L\"osungen
\begin{displaymath}
k_{\pm} = - \frac{\beta}{2m} \pm i \sqrt{\frac{m'g}{mL} - \frac{\beta^{2}}
{4 m^{2}} }.
\end{displaymath}
Die zwei partikul\"aren L\"osungen sind
\begin{displaymath}
x_{\pm}(t) = A_{\pm} e^{-\frac{\beta}{2m}t} e^{\pm i \omega t}
\end{displaymath}
mit
\begin{displaymath}
\omega = \sqrt{ \frac{m'g}{mL} - \frac{\beta^{2}}{4m^{2}} } = 1,51 \; s^{-1}.
\end{displaymath}
Die allgemeine L\"osung ist die Summe dieser beiden partikul\"aren
L\"osungen. Setzen wir $A_{+} = A_{-} = A$ und beachten
$cos(z) = (1/2) (e^{iz} + e^{-iz})$ f\"ur alle komplexen und reellen $z$,
so folgt auch
\begin{displaymath}
x(t) = x_{+}(t) + x_{-}(t) = A e^{-\frac{\beta}{2m}t} ( e^{-\omega t}
+ e^{-i\omega t}) = 2 A e^{-\frac{\beta}{2m}t} cos(\omega t).
\end{displaymath}
Eine zus\"atzliche Phase erh\"alt man, wenn $A_{+} \neq A_{-}$ ist. Dann
folgt
\begin{displaymath}
x(t) = A e^{-\frac{\beta}{2m}t} cos(\omega t + \phi).
\end{displaymath}
F\"ur die Schwingungsdauer erhalten wir
\begin{displaymath}
T = \frac{2\pi}{\omega} = 4,16 \; s.
\end{displaymath}
b) Der aperiodische Grenzfall wird erreicht f\"ur $\omega = 0$, d.h.
\begin{displaymath}
\frac{m'g}{mL} = \frac{\beta^{2}}{4m^{2}}
\end{displaymath}
oder
\begin{displaymath}
\beta = 2 \sqrt{m m' \frac{g}{L}} = 0,25 \; kg/s
\end{displaymath}    
\end{document}