\documentstyle[11pt,german,uebung]{article}
\begin{document}
\briefkopf
\Large
\centerline{L\"osungen zur "Ubung Nr. 11}
\vskip 2mm
\normalsize Besprechung: {\bf Donnerstag, den 20. Januar 2000}
\newline
\vskip 0.5cm
{\bf Aufgabe 1:} \hspace{10cm} (8 Punkte) \newline
Wenn die H\"ohe des Wasserspiegels sinkt, erniedrigt sich der Wasserdruck,
und damit erh\"oht sich das Volumen im Kolben gem\"ass
$V = p_{0} V_{0}/p$ mit 
\begin{eqnarray}
p_{0} &=& (h_{0} - x_{0}) \rho_{W} g + p_{a} = 2 \cdot 10^{4} \; Pa\nonumber \\
V_{0} &=& x_{0} \pi r^{2} = 5,56 \cdot 10^{-4} \; m^{3} \nonumber \\
p &=& (h - x) \rho_{W} g + p_{a} \nonumber
\end{eqnarray}
Der Kolben hebt vom Boden ab, wenn die Auftriebskraft gleich der Schwerkraft 
ist, d.h. f\"ur 
\begin{displaymath}
F_{g} = m g = F_{A} = \rho_{W} V g
\end{displaymath}
oder
\begin{displaymath}
\rho_{W} \frac{p_{0} V_{0}}{p} = m.
\end{displaymath}
Einsetzen von $p$ und umordnen liefert:
\begin{displaymath}
(h - x) \rho_{W} g = \frac{\rho_{W}}{m} p_{0} V_{0} - p_{a}
\end{displaymath}
oder
\begin{displaymath}
h - x = \frac{\rho_{W} p_{0} V_{0} - m p_{a}}{m \rho_{W} g} = 0,13 \; m
\end{displaymath}
Mit $V = x \pi r^{2}$ und $p = (h-x) \rho_{W} g + p_{a}$ folgt
\begin{displaymath}
x = \frac{p_{0} V_{0}}{\pi r^{2}((h-x)\rho_{W} g + p_{a})}
\end{displaymath}
Daraus kann man $x= 0,35 \; m$ und $h = 0,48 \; m$ berechnen. 
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{\bf Aufgabe 2:} \hspace{10cm} (6 Punkte) \newline
Die in der Seifenblase gespeicherte Energie ist
\begin{displaymath}
W = \sigma A = 2 \sigma 4 \pi R^{2} = 8 \pi \sigma R^{2} = 1,8 \cdot 10^{-3}
\; J.
\end{displaymath}
Diese Energie verteilt sich beim Zerplatzen auf die kinetische Energie
der entstehenden Tr\"opfchen:
\begin{displaymath}
W = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} m_{i} v_{i}^{2} = \frac{1}{2} v^{2}
\sum_{i=1}^{n} m_{i} = \frac{1}{2} M v^{2}.
\end{displaymath}
Hierbei wurde ausgenutzt, dass nach Aufgabenstellung die Geschwindigkeiten
$v_{i}$ der einzelnen Tr\"opfchen gleich sind, also $v_{i} = v$, und dass
die Gesamtmasse $M$ der Seifenblase gleich der Summe der Massen der
Tr\"opfchen sein muss. Daher folgt 
\begin{displaymath}
v = \sqrt{\frac{2W}{M}} = 4 \sqrt{\frac{\pi \sigma}{M}} \; R \approx
6 \; m/s.
\end{displaymath}
Insbesondere h\"angt die Geschwindigkeit nicht von der Anzahl der
erzeugten Teilchen ab.
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{\bf Aufgabe 3:} \hspace{10cm} (6 Punkte) \newline
Das erste Rohr misst die Summe von statischem Druck und Staudruck, das zweite
Rohr nur den Staudruck, da hier $v = 0$ ist. Daher gilt
\begin{displaymath}
p_{stat} + \frac{1}{2} \rho v^{2} = constant.
\end{displaymath}
Die Druckdifferenz ist
\begin{displaymath}
\rho g \Delta h = p_{stat} + \frac{1}{2} \rho v^{2} - p_{stat} =
\frac{1}{2} \rho v^{2}.
\end{displaymath}
Daraus folgt f\"ur die Geschwindigkeit
\begin{displaymath}
v = \sqrt{2g \Delta h}.
\end{displaymath}
Pro Sekunde str\"omt das Fl\"ussigkeitsvolumen
\begin{displaymath}
A v = A \sqrt{2 g \Delta h} = 0,26 \; m^{3}/s
\end{displaymath}
durch das Rohr.
\end{document}