\documentstyle[11pt,german,uebung]{article}
\begin{document}
\briefkopf
\Large
\centerline{L\"osungen zur "Ubung Nr. 10 (Bonus\"ubung)}
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\normalsize Besprechung: {\bf Donnerstag, den 13. Januar 2000}
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{\bf Aufgabe 1:} (Bonusaufgabe) \hspace{7.5cm} (4 Punkte) \newline
Mit der folgenden Abbildung gilt $h = (g/2) t^{2}$ und 
$t = \sqrt{2h/g}$. Daraus folgt 
\begin{displaymath}
v = \frac{2d}{t} = \frac{2d}{\sqrt{2h/g}} = 15 \; m/s.
\end{displaymath}
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{\bf Aufgabe 2:} (Bonusaufgabe) \hspace{7.5cm} (4 Punkte) \newline
Mit $I_{Rad} = m r^{2} = 0,5 \; kg \cdot m^{2}$ folgt der Drehimpuls
\begin{displaymath}
L_{Rad} = I_{Rad} \omega = I_{Rad} 2 \pi \nu = 6,28 \; kg \cdot m^{2}/s.
\end{displaymath}
Die Drehimpulserhaltung verlangt $L_{Person} + L_{Rad}' = L_{Rad}$, d.h.
\begin{displaymath}
I \omega' + I_{Rad} \omega' = I_{Rad} \omega = L_{Rad}
\end{displaymath}
oder
\begin{displaymath}
\omega' = \frac{I_{Rad}}{I + I_{Rad}} \omega = \frac{1}{7} \omega
\end{displaymath}
b.z.w.
\begin{displaymath}
\nu' = \frac{1}{7} \nu = \frac{2}{7} \; s^{-1}.
\end{displaymath}
\newpage
{\bf Aufgabe 3:} (Bonusaufgabe) \hspace{7.5cm} (4 Punkte) \newline
Aus der Energieerhaltung folgt
\begin{displaymath}
\frac{m}{2} v_{0}^{2} - \gamma \frac{m M_{E}}{r_{E}} = - \gamma
\frac{m M_{E}}{r_{E} + 4 r_{E}}.
\end{displaymath}
Daraus folgt:
\begin{displaymath}
v_{0}^{2} = 2 \gamma \frac{M_{E}}{r_{E}} \left( 1 - \frac{1}{5} \right)
= \frac{8}{5} \gamma \frac{M_{E}}{r_{E}^{2}} r_{E} = \frac{8}{5} g r_{E}.
\end{displaymath}
Also:
\begin{displaymath}
v_{0} = \sqrt{(8/5) g r_{E}} \approx 10,1 \; km/s.
\end{displaymath}
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{\bf Aufgabe 4:} (Bonusaufgabe) \hspace{7.5cm} (4 Punkte) \newline
Mit $r_{P}$ als Radius des Planeten und $r_{E}$ als Radius der Erde
gilt mit der Voraussetzung $\rho_{E} = \rho_{P} = \rho$:
\begin{displaymath}
g_{P} = \gamma \frac{M_{P}}{r_{P}^{2}} = \gamma \frac{4}{3} \pi \rho r_{P} 
= \gamma \frac{4}{3} \pi \rho r_{E} \frac{r_{P}}{r_{E}} 
= \frac{1}{2} g_{E} \approx 5 \; m/s^{2}.
\end{displaymath} 
\newline \vskip 5mm
{\bf Aufgabe 5:} (Bonusaufgabe) \hspace{7.5cm} (4 Punkte) \newline
Die kinetische Energie am Anfang der Bewegung muss gleich der gesamten
Reibungsenergie auf der Strecke $s$ sein, 
$(1/2) m v_{0}^{2} = \mu m g s$. Daher
\begin{displaymath}
s = \frac{v_{0}^{2}}{2 \mu g} = 10 \; cm.
\end{displaymath}  
\newline \vskip 5mm
{\bf Aufgabe 6:} (Bonusaufgabe) \hspace{7.5cm} (4 Punkte) \newline
Die r\"ucktreibende Kraft ist gleich der Tr\"agheitskraft, 
\begin{displaymath}
F = \rho A 2x g = \rho A L \frac{d^{2}x}{dt^{2}}, 
\end{displaymath}
wobei $x$ die Auslenkung aus der Ruhelage ist.
Daraus folgt die DGL
\begin{displaymath}
\frac{d^{2}x}{dt^{2}} - \frac{2g}{L} x = 0.
\end{displaymath}
Vergleich mit $d^{2}x/dt^{2} - \omega_{0}^{2} x = 0$ zeigt, dass
$\omega_{0} = \sqrt{2g/L}$ sein muss. Daraus folgt
\begin{displaymath}
T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{2g}} = 0,2 \; \pi \; s = 0,63 \; s.
\end{displaymath}
\end{document}




