Übung Nr. 9

Abgabetermin: Donnerstag, den 13. Januar 2000
Aufgabe 1: (8 Punkte)
Die Kraft auf ein Massenelement $m$ in den Punkten $A$ und $B$ ist

$$F_{G} (r_{A}) = -\gamma \frac{m M_{P}}{(D+r)^{2}}$$

$$F_{G} (r_{B}) = -\gamma \frac{m M_{P}}{(D-r)^{2}}$$

Die Differenz zur Fliehkraft ist für Punkt A:

$$\Delta F = F_{G}(r) + F_{Z} = F_{G}(r) - F_{G}(r=0) = -\gamma \frac{m M_{P}}{(D+r)^{2}} + \gamma \frac{m M_{P}}{D^{2}}$$

Dieses kann man auch schreiben als

$$\Delta F = -\gamma \frac{m M_{P}}{D^{2}} \left( \frac{1}{(1 + r/D)^{2}} - 1 \right).$$

Wegen $(1+r/D)^{-2} \approx 1 - 2 r/D$ folgt näherungsweise für $r/D \ll 1$:

$$\Delta F = - \gamma \frac{m M_{P}}{D^{2}} \left( 1 - 2 \frac{r}{D} -1 \right) = 2 \gamma \frac{m M_{P}}{D^{3}} r.$$

Der Mond ist stabil, solange die Anziehungskraft des Mondes auf die Masse $m$ größer als die Gezeitenkraft des Planeten ist. Die Grenzbedingung lautet also

$$\gamma \frac{m M_{M}}{r^{2}} = 2 \gamma \frac{m M_{P}}{D_{krit}^{3}} r.$$

oder

$$D_{krit}^{3} = 2 \frac{M_{P}}{M_{M}} r^{3}.$$

Mit $M_{P} = (4/3) \pi \rho R^{3}$ und $M_{M} = (4/3) \pi \rho r^{3}$ können wir auch schreiben:

$$D_{krit}^{3} = 2 R^{3}$$

oder

$$D_{krit} = 1,26 R$$

Der exakte Wert ist $D_{krit} = 2,46 R$, also ungefähr einen Faktor 2 größer.

Aufgabe 2: (7 Punkte)
Die Gesamtenergie ist auf der gesamten Bahn konstant und im Punkte des Aufpralls auf dem Mond gegeben durch

$$W_{ges} = \frac{m}{2} v^{2} - \gamma \frac{m M}{r} = \frac{m}{2} \left( v^{2} - 2 \gamma \frac{M}{r} \right) = \frac{m}{2} A$$

Die Bahnkonstante $A$ können wir ausrechen zu

$$A = v^{2} - 2 \gamma \frac{M}{r} = 3,365 \cdot 10^{6} \; m^{2}/s^{2}$$

$A$ ist insbesondere größer Null, daher ist die Gesamtenergie größer Null und die Bahn eine Hyperbel.
b) Die Energieerhaltung verlangt

$$\frac{m}{2} v^{2} - \gamma \frac{mM}{r} = \frac{m}{2} v_{0}^{2} - \gamma \frac{mM}{r_{0}}.$$

Eine zweite Gleichung erhalten wir aus der Drehimpulserhaltung:

$$r v \; sin(90^{o} + \beta) = r v \; cos(\beta) = r_{0} v_{0}$$

oder

$$r_{0} = \frac{r v \; cos\beta}{v_{0}}.$$

Dieses setzen wir in die Energiegleichung ein und erhalten nach kurzer Umformung

$$v_{0} = B + \sqrt{B^{2} + A}$$

mit

$$A = v_{2} - 2 \gamma \frac{M}{r} = 3,365 \cdot 10^{6} \; m^{2}/s^{2}$$

$$B = \frac{\gamma M}{r v \; cos\beta} = 1,08 \cdot 10^{3} \; m/s$$

Insgesamt also

$$v_{0} = 3,208 \cdot 10^{3} \; m/s = 3,21 \; km/s.$$

Der Meteorit katte beim Aufprall also praktisch schon seine höchste Geschwindigkeit.
c) Den minimalen Abstand berechnen wir aus

$$r_{0} = \frac{r v \; cos\beta}{v_{0}} = 1416 \; km.$$

Aufgabe 3: (5 Punkte)
a) Beim ersten Teil dieser Aufgabe gibt es zwei Lösungswege:
1. Lösungsweg
Die Auflagekraft ist $F_{N} = m g \; cos\alpha$, die Gleitreibungskraft daher $F_{G} = \mu_{G} F_{N} = \mu_{G} mg \; cos\alpha$. Auf dem Weg $s = h/sin\alpha$ wird also die Arbeit

$$W = F_{G} s = \mu_{G} m g h \frac{cos\alpha}{sin\alpha}$$

verbraten. Der Energiesatz lautet hiermit:

$$\frac{1}{2} m v_{0}^{2} = m g h + \mu_{G} m g h \frac{cos\alpha}{sin\alpha}$$

Aufgelöst nach $h$ ergibt:

$$h = \frac{v_{0}^{2}}{2 g (1 + \mu_{G} \frac{cos\alpha}{sin\alpha})} \approx 3,8 \; m.$$

2. Lösungsweg
Der zweite Lösungsweg ist etwas komplizierter und vermeidet den Energiesatz. Die Bewegungsgleichung des Klotzes auf der schiefen Ebene ist

$$m a = m g \; sin\alpha + \mu_{G} m g \; cos\alpha = m ( g \; sin\alpha + \mu_{G} g \; cos\alpha )$$

Mit $s(t) = v_{0} t - (1/2) a t^{2}$ und $h(t) = s(t) \; sin\alpha$ folgt:

$$h(t) = v_{0}t \; sin\alpha - \frac{1}{2} a t^{2} \; sin\alpha.$$

Die maximale Höhe wird erreicht, wenn $dh/dt = 0$ wird, daraus folgt die hierzu notwendige Zeit $t_{1} = v_{0}/a$. Einsetzen in die vorherige Formel liefert:

$$h = \frac{v_{0}^{2} sin\alpha}{a} - \frac{1}{2} \frac{v_{0}^... ...sin\alpha}{g(sin\alpha + \mu_{G} cos\alpha)} \approx 3,8 \; m.$$

b) Das Verhältnis der rücktreibenden Schwerkraft $F_{g} = m g \; sin\alpha$ zur Haftreibungskraft $F_{H} = \mu_{H} m g \; cos\alpha$,

$$\frac{F_{g}}{F_{H}} = \frac{1}{\mu_{H}} tang(\alpha) = 1,92$$

ist größer als 1, daher gleitet der Klotz die Ebene wieder herunter.