Lösungen zur Übung Nr. 7

Besprechung: Donnerstag, den 9. Dezember 1999
Aufgabe 1: (6 Punkte)
a) Beim Laufen in Fahrtrichtung des Zuges sind Zentrifugalkraft und Corioliskraft gleichgerichtet, daher

$$F = F_{Z} + F_{C} = m \omega^{2} r + 2 m u \omega = \frac{m}{r} v (v + 2 u) = 34,72 \; N.$$

b) Beim Laufen entgegengesetzt zur Fahrtrichtung kehrt sich das Vorzeichen der Corioliskraft um, daher

$$F = F_{Z} + F_{C} = m \omega^{2} r - 2 m u \omega = \frac{m}{r} v (v - 2 u) = 24,80 \; N.$$

Bei typischen Geschwindigkeiten von $v \approx 60 \; km/h$ und $u = 5 \; km/h$ beträgt der Unterschied in den Trägheitskräften also bereits $30 \%$.
Aufgabe 2: (7 Punkte)
a) Die Geschwindigkeit $v_{0}$ des Pendels beim Nulldurchgang ist mit Hilfe des Energiesatzes durch

$$\frac{m}{2} v_{0}^{2} = m g l (1 - cos\beta )$$

oder

$$v_{0} = \sqrt{2 g l ( 1- cos\beta )}$$

gegeben, daher

$$F_{C} = 2 m v_{0} \omega' = 2 m \sqrt{2 g l (1 - cos\beta )} \omega'.$$

Die wirksame Komponente $\omega'$ der Winkelgeschwindigkeit am Ort der geographischen Breite $\Phi$ ist

$$\omega' = \frac{2\pi}{d^{\ast}} sin\Phi$$

mit der Dauer eines Sterntages $d^{\ast} = 86164 \; s$, was sich geringfügig von $d = 24*3600 \; s = 86400 \; s$ unterscheidet. Daher folgt für die Corioliskraft beim Nulldurchgang:

$$F_{C} = \frac{4 \pi m}{d^{\ast}} sin\Phi \sqrt{2gl(1-cos\beta )} \approx 4,25 \cdot 10^{-4} \; N.$$

b) Die Corioliskraft ist gleich der Zentrifugalkraft der horizontalen Bewegung, d.h

$$F_{C} = 2 m v_{0} \omega' = F_{Z} = \frac{m}{r} v_{0}^{2} .$$

Daraus berechnen wir den Krümmungsradius zu

$$r = \frac{v_{0}}{2 \omega'} = \frac{d^{\ast}}{4\pi sin\Phi} \sqrt{2gl(1-cos\beta ) } \approx 5 \; km.$$

c) Eine volle Drehung erhält man für $T = d^{\ast}/sin\Phi \approx 30,8 \; h$.
Aufgabe 3: (7 Punkte)
Wenn der Wagen steht, wirken nur die Schwerkraft und Zentrifugalkraft,

$$F_{g} = - m g \vec{e}_{r}$$

$$F_{Z} = - m \vec{\omega} \times ( \vec{\omega} \times \vec{r}) = - m [\ve... ...\vec{r} \cdot (\vec{\omega} \cdot \vec{\omega}) ] = m \omega^{2} r \vec{e}_{r}.$$

Insgesamt also

$$\vec{F}_{ges} = (-mg + m \omega^{2} r) \vec{e}_{r}$$

b) Entlang des Äquators in Ost- Richtung wirken die drei Kräfte

$$\vec{F}_{g} = - m g \vec{e}_{r}$$

$$\vec{F}_{Z} = + m \left( \frac{v^{2}}{R} + \omega^{2} R \right) \vec{e}_{r}$$

$$\vec{F}_{C} = + 2 m \omega v \vec{e}_{r}$$

Zu beachten ist hierbei, dass bei Fahrt in Ost-Richtung auch die Zentrifugalbeschleunigung erhöht wird, da sich auch die Erde in Ost-Richtung dreht. Insgesamt also

$$\vec{F}_{ges} = m \left(-g + \frac{v^{2}}{R} + \omega^{2} R + 2\omega v \right) \vec{e}_{r}.$$

c) Damit der Wagen abhebt, muss die Summe aller auf ihn wirkenden Kräfte verschwinden, d.h.

$$- mg + m \left( \omega^{2} R + \frac{v^{2}}{R} \right) + 2 m \omega v = 0.$$

Aufgelöst nach der Geschwindigkeit $v$ ergibt sich

$$v = - R \omega \pm \sqrt{R g}$$