\documentstyle[11pt,german,uebung]{article}
\begin{document}
\briefkopf
\Large
\centerline{L\"osungen zur "Ubung Nr. 7}
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\normalsize Besprechung: {\bf Donnerstag, den 9. Dezember 1999}
\newline
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{\bf Aufgabe 1:} \hspace{10cm} (6 Punkte) \newline
a) Beim Laufen in Fahrtrichtung des Zuges sind Zentrifugalkraft und
Corioliskraft gleichgerichtet, daher
\begin{displaymath}
F = F_{Z} + F_{C} = m \omega^{2} r + 2 m u \omega = \frac{m}{r} v (v + 2 u)
= 34,72 \; N.
\end{displaymath}
\vskip 5cm
b) Beim Laufen entgegengesetzt zur Fahrtrichtung kehrt sich das Vorzeichen
der Corioliskraft um, daher
\begin{displaymath}
F = F_{Z} + F_{C} = m \omega^{2} r - 2 m u \omega = \frac{m}{r} v (v - 2 u)
= 24,80 \; N.
\end{displaymath}
Bei typischen Geschwindigkeiten von $v \approx 60 \; km/h$ und
$u = 5 \; km/h$ betr\"agt der Unterschied in den Tr\"agheitskr\"aften
also bereits $30 \%$. 
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{\bf Aufgabe 2:} \hspace{10cm} (7 Punkte) \newline
a) Die Geschwindigkeit $v_{0}$ des Pendels beim Nulldurchgang ist mit Hilfe
des Energiesatzes durch
\begin{displaymath}
\frac{m}{2} v_{0}^{2} = m g l (1 - cos\beta )
\end{displaymath}
oder
\begin{displaymath}
v_{0} = \sqrt{2 g l ( 1- cos\beta )}
\end{displaymath}
gegeben, daher
\begin{displaymath}
F_{C} = 2 m v_{0} \omega' = 2 m \sqrt{2 g l (1 - cos\beta )} \omega'.
\end{displaymath}
Die wirksame Komponente $\omega'$ der Winkelgeschwindigkeit am Ort der
geographischen Breite $\Phi$ ist
\begin{displaymath}
\omega' = \frac{2\pi}{d^{\ast}} sin\Phi
\end{displaymath}
mit der Dauer eines Sterntages $d^{\ast} = 86164 \; s$, was sich
geringf\"ugig von $d = 24*3600 \; s = 86400 \; s$ unterscheidet. Daher
folgt f\"ur die Corioliskraft beim Nulldurchgang:
\begin{displaymath}
F_{C} = \frac{4 \pi m}{d^{\ast}} sin\Phi \sqrt{2gl(1-cos\beta )} \approx
4,25 \cdot 10^{-4} \; N.
\end{displaymath}
b) Die Corioliskraft ist gleich der Zentrifugalkraft der horizontalen
Bewegung, d.h
\begin{displaymath}
F_{C} = 2 m v_{0} \omega' = F_{Z} = \frac{m}{r} v_{0}^{2} .
\end{displaymath}
Daraus berechnen wir den Kr\"ummungsradius zu
\begin{displaymath}
r = \frac{v_{0}}{2 \omega'} = \frac{d^{\ast}}{4\pi sin\Phi}
\sqrt{2gl(1-cos\beta ) } \approx 5 \; km.
\end{displaymath}
c) Eine volle Drehung erh\"alt man f\"ur
$T = d^{\ast}/sin\Phi \approx 30,8 \; h$.
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{\bf Aufgabe 3:}  \hspace{10cm}(7 Punkte) \newline
Wenn der Wagen steht, wirken nur die Schwerkraft und Zentrifugalkraft,
\begin{eqnarray}
F_{g} &=& - m g \vec{e}_{r} \nonumber \\
F_{Z} &=& - m \vec{\omega} \times ( \vec{\omega} \times \vec{r}) =
- m [\vec{\omega} \cdot (\vec{\omega} \cdot \vec{r}) - \vec{r} \cdot
(\vec{\omega} \cdot \vec{\omega}) ] = m \omega^{2} r \vec{e}_{r}.
\nonumber
\end{eqnarray}
\vskip 3cm
Insgesamt also
\begin{displaymath}
\vec{F}_{ges} = (-mg + m \omega^{2} r) \vec{e}_{r}
\end{displaymath}
b) Entlang des \"Aquators in Ost- Richtung wirken die drei Kr\"afte
\begin{eqnarray}
\vec{F}_{g} &=& - m g \vec{e}_{r} \nonumber \\
\vec{F}_{Z} &=& + m \left( \frac{v^{2}}{R} + \omega^{2} R \right) \vec{e}_{r}
\nonumber \\
\vec{F}_{C} &=& + 2 m \omega v \vec{e}_{r} \nonumber
\end{eqnarray}
Zu beachten ist hierbei, dass bei Fahrt in Ost-Richtung auch die
Zentrifugalbeschleunigung erh\"oht wird, da sich auch die Erde in
Ost-Richtung dreht. Insgesamt also
\begin{displaymath}
\vec{F}_{ges} = m \left(-g + \frac{v^{2}}{R} + \omega^{2} R + 2\omega v
\right) \vec{e}_{r}.
\end{displaymath}
c) Damit der Wagen abhebt, muss die Summe aller auf ihn wirkenden Kr\"afte
verschwinden, d.h.
\begin{displaymath}
- mg + m \left( \omega^{2} R + \frac{v^{2}}{R} \right) + 2 m \omega v = 0.
\end{displaymath}
Aufgel\"ost nach der Geschwindigkeit $v$ ergibt sich
\begin{displaymath}
v = - R \omega \pm \sqrt{R g}
\end{displaymath}
\end{document}