Lösungen zur Übung Nr. 4

Besprechung: Donnerstag, den 18. November 1999
Aufgabe 1: (4 Punkte)
Es gelten Impuls- und Energiessatz, die wir beide in vektorieller Form schreiben:

$$m_{1} \vec{v}_{1} + m_{2} \vec{v}_{2} = m_{1} \vec{v}_{1}' + m_{2} \vec{v}_{2}'$$

$$\frac{m_{1}}{2} \vec{v}_{1}^{2} + \frac{m_{2}}{2} \vec{v}_{2}^{2} = \frac{m_{1}}{2} \vec{v}_{1}'^{2} + \frac{m_{2}}{2} \vec{v}_{2}'^{2}$$

Mit $\vec{v}_{2} = 0$ und $m_{1} = m_{2}$ folgen die beiden Gleichungen:

$$\vec{v}_{1} = \vec{v}_{1}' + \vec{v}_{2}'$$

$$\vec{v}_{1}^{2} = \vec{v}_{1}'^{2} + \vec{v}_{2}'^{2}$$

Wir quadriereren die erste Gleichung, $v_{1}^{2} = v_{1}'^{2} + v_{2}'^{2} + 2\vec{v}_{1}' \cdot \vec{v}_{2}'$. Zusammen mit der zweiten Gleichung folgt daraus, daß $\vec{v}_{1}' \cdot \vec{v}_{2}' = 0$ sein muß, d.h. $\varphi = 90^{o}$.
Aufgabe 2: (5 Punkte)
Wir setzen uns in das Schwerpunktsystem. Hier gilt der Impulssatz und der Energiesatz in der Form:

$$m_{1} v_{1}' = m_{2} v_{2}'$$

$$\frac{1}{2} D x^{2} = \frac{1}{2} m_{1} v_{1}'^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}'^{2}$$

Auflösen nach $v_{1}'$ b.z.w. $v_{2}'$ ergibt mit $m_{1} = m_{2}$:

$$v_{1}' = v_{2}' = \sqrt{\frac{Dx^{2}}{2m}}$$

Für die Geschwindigkeiten im Ruhesystem der Strasse (Schiene) folgt

$$v_{1} = v_{0} - v_{1}' = v_{0} - \sqrt{\frac{Dx^{2}}{2m}}$$

$$v_{2} = v_{0} + v_{2}' = v_{0} + \sqrt{\frac{Dx^{2}}{2m}}$$

Für $v_{1} = 0$ folgt $v_{2} = 2 v_{0}$ und

$$m = \frac{Dx^{2}}{2 v_{0}^{2}} = 800 \; kg.$$

Aufgabe 3: (4 Punkte)
Die Federkonstante des Seils berechnet sich aus $Mg = D \; \Delta l$ zu

$$D = \frac{Mg}{\Delta l}.$$

Die Frequenz der Schwingung ist $\nu = (1/2\pi) \sqrt{D/(m+M)}$. Insgesamt also

$$\nu = \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{M}{(M+m)} \frac{g}{\Delta l} } \approx 2,8 \; s^{-1}.$$

Aufgabe 4: (7 Punkte)
Allgemein gilt, wenn $M'$ die Masse des Pendelkörpers ist, für die potentielle Energie beim Maximalausschlag:

$$E_{pot} = \int_{0}^{\varphi_{0}} F_{s} ds = L M'g \int_{0}^{... ...i) = 2 L M' g \; sin^{2} \left( \frac{\varphi_{0}}{2} \right).$$

Wir mach hier also nicht die Approximation $sin\varphi \approx \varphi$, da wir über die Größe der Auslenkung nichts wissen. Die Masse $M'$ kann bei den Fallunterscheidungen verschieden sein, nämlich $M' = M$ oder $M' = M + m$. Diese potentielle Energie muß gleich der kinetischen Energie des Pendelkörpers nach dem Aufprall der Geschosskugel sein.
a) Hier ist wegen Impulserhaltung $(m+M)v_{K} = m v$, wobei $v_{K}$ die Geschwindigkeit des Pendelkörpers ist. Damit wird die kinetische Energie am Anfang der Bewegung

$$E_{kin} \frac{m+M}{2} v_{K}^{2} = \frac{1}{2} \frac{m^{2}}{m+M} v^{2}.$$

In die Formel für die potentielle Energie müssen wir $M' = m+M$ einsetzen, daher

$$\frac{1}{2} \frac{m^{2}}{m+M} v^{2} = 2 L(M+m) g \; sin^{2} \left( \frac{\varphi_{0}}{2} \right)$$

Aufgelöst nach $\varphi_{0}$:

$$sin \left( \frac{\varphi_{0}}{2} \right)= \frac{1}{2 \sqrt{Lg}} \; \frac{m}{m+M} v = 0,158$$

oder $\varphi_{0} = 18,2^{o}$.
b) In diesem Fall haben wir vor und nach dem Aufprall die folgende Situation:

Impulserhaltung fordert $mv = Mv_{K} - mv'$ oder $v_{K} = (m/M)(v+v')$. Die kinetische Energie wird damit nach dem Aufprall zu

$$E_{kin} = \frac{1}{2} M v_{K}^{2} = \frac{1}{2} \frac{m^{2}}{M} (v+v')^{2}.$$

In der Formel für die potentielle Energie ist diesmal $M' = M$ zu setzen, also

$$\frac{1}{2} \frac{m^{2}}{M} (v + v')^{2} = 2 LMg \; sin^{2} \left( \frac{\varphi_{0}}{2} \right).$$

Daraus folgt:

$$sin \left( \frac{\varphi_{0}}{2} \right) = \frac{1}{2\sqrt{Lg}} \frac{m}{M} (v + v') = 0,176,$$

oder $\varphi_{0} = 20,3^{o}$.
c) Dieses ist natürlich ein Spezialfall von b) mit $v' = 0$. Daher

$$sin \left( \frac{\varphi_{0}}{2} \right) = \frac{1}{2\sqrt{Lh}} \frac{m}{M} v = 0,159$$

oder $\varphi_{0} = 18,4^{o}$.