Lösungsvorschläge zur Übung Nr. 2

Besprechung: Donnerstag, den 4. November 1999
Aufgabe 1: (5 Punkte)
Mit $s_{1} = 10 \; m$ und $s_{2} = 90 \; m$ gilt

$$s_{1} = \frac{a}{2} t_{1}^{2}$$

$$s_{2} = v_{max} t_{2} = at_{1} t_{2}$$

Daher

$$t_{1} = \sqrt{\frac{2s_{1}}{a}}$$

$$t_{2} = \frac{s_{2}}{at_{1}} = \frac{s_{2}}{\sqrt{2as_{1}}}.$$

Mit der Reaktionszeit $t_{r}$ gilt für die Gesamtzeit

$$T = t_{r} + t_{1} + t_{2} = t_{r} + \sqrt{\frac{2s_{1}}{a}} + \frac{s_{2}}{\sqrt{2as_{1}}}.$$

Einsetzen der Zahlenwerte führt auf

$$T = t_{r} + 1,782 \; s + 8,018 \; s = t_{r} + 9,8 \; s.$$

Die Gesamtzeit ist also unter $10 \; s$, sofern die Reaktionszeit unter $0,2 \; s$ bleibt.
Aufgabe 2: (5 Punkte)
Der Wagen mit der Masse $m_{2}$ wird von der Kraft $F_{2}$ beschleunigt. Die gleiche Kraft wirkt in entgegengesetzter Richtung auf das Gewicht mit der Masse $m_{1}$, d.h. $F_{1} = F_{2}$. Die Masse unterliegt noch zusätzlich der Schwerkraft, daher

$$F_{2} = m_{2} a_{2}$$

$$m_{1}g - F_{1} = m_{1} g - F_{2} = m_{1} a_{1}$$

$$m_{1}g - m_{2}a_{2} = m_{1} a_{1}$$

Als Nebenbedingung gilt, daß $a_{1} = a_{2} = a$ sein muß, daher

$$m_{1} g - m_{2} a = m_{1} a$$

$$a = \frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}} g \approx 2,5 \; m/s^{2}.$$

Die am Seil angreifende Kraft ist schließlich

$$F = F_{1} = F_{2} = m_{2} a = 1,5 \cdot 2,5 \; kg \cdot m/s^{2} = 3,75 \; N.$$

Aufgabe 3: (6 Punkte)
Nach dem Lösen der Bremse herrscht im Seil überall die Spannungskraft $F$. Daher folgen die Gleichungen

$$m_{1} g - F = m_{1} a_{1}$$

$$m_{2} g - F = m_{2} a_{2}$$

Nach Elimination von $F$ und wegen $a = a_{1} = - a_{2}$ folgt:

$$a = \frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}} g.$$

Vor dem Lösen der Bremse war die Gesamtkraft auf die Umlenkrolle $F_{vorher} = (m_{1}+m_{2}) g$. Nach dem Lösen der Bremse ist die Gesamtkraft auf die Umlenkrolle

$$F_{nachher} = 2 F = 2(m_{1}g - m_{1} a_{1}) = 2(m_{1}g - m_{1}a).$$

Nach Einsetzen von $a$ folgt:

$$F_{nachher} = \frac{4m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}} g.$$

Die Differenz ist

$$F_{vorher} - F_{nachher} = (m_{1}+m_{2})g - \frac{4m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}g = \frac{(m_{1}-m_{2})^{2}}{m_{1}+m_{2}} g.$$

Der letzte Ausdruck ist größer als Null, daher wird das Gesamtgewicht der Umlenkrolle beim Lösen der Bremse kleiner, die Waage neigt sich also nach rechts. Das Gewicht $G$ muß also um den Anteil $\Delta G = F_{vorher} - F_{nachher}$ verkleinert werden, um wieder Gleichgewicht herzustellen.
Aufgabe 4: (4 Punkte)
Für die Seilspannungen in den zwei Abschnitten des Seils soll gelten: $F_{AB} = 2 F_{BC} = 2 Mg$. Aus der Geometrie folgt $F_{AB}^{2} + F_{BC}^{2} = (mg)^{2}$. Daher folgt $(2Mg)^{2} + (Mg)^{2} = (mg)^{2}$ oder $M = m/\sqrt{5} \approx 4,47 \; kg$.