Lösungsvorschläge zur Übung Nr. 1

Besprechung: Donnerstag, den 28. Oktober 1999
Aufgabe 1: (6 Punkte)
Diese Aufgabe aus dem Bereich der Experimentalmathematik hat natürlich nicht immer eine eindeutige Lösung. Die einfachsten Lösungen sind die folgenden:
a) Den größten Vektor erhält man natürlich, wenn alle 4 Vektoren gleichgerichtet sind, dann ist

$$\vert\vec{r}_{max}\vert = \vert\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}\vert = 10 \; cm.$$

b) Der betragsmässig kleinste Vektor hat die Länge Null. Im einfachsten Fall sind $\vec{a}$ und $\vec{d}$ parallel und entsprechend $\vec{b}$ und $\vec{c}$ parallel, mit $(\vec{a} + \vec{d}) = - (\vec{b} + \vec{c})$. Dann ist

$$\vert\vec{r}_{min}\vert = 0.$$

c) Hier erhalten wir den größten Vektor, wenn $\vec{a}$ mit $\vert\vec{a}\vert = 1 \; cm$ senkrecht zur Ebene steht und alle anderen parallel zueinander in der Ebene liegen,

Dann ist $\vert\vec{e}\vert = \vert\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}\vert = 9 \; cm$ und

$$\vert\vec{r}_{max}'\vert = \vert\vec{a} + \vec{e}\vert = \sqrt{1 + 81} \; cm = 9,06 \; cm.$$

Den kleinsten Vektor erhalten wir jetzt, wenn wiederum $\vec{a}$ senkrecht zur Ebene steht und der Vektor $\vec{e} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ betragsmässig möglichst klein wird,

$$\vert\vec{r}_{min}'\vert = \vert\vec{a} + \vec{e}\vert = \sqrt{1 + 1} \; cm = 1,4 \; cm.$$

Aufgabe 3: (4 Punkte)
In der folgenden Skizze ist $L_{1}$ die Strecke des Schiffes bis zur Umkehr, $L_{2}$ die Strecke des Schiffes bis zur Bergung der Kiste.

Damit ist $L= 5 \; km = L_{1} - L_{2}$. Wenn $v$ die Geschwindigkeit des Stromes ist und $v_{S}$ die Geschwindigkeit des Schiffes, so gilt

$$v_{S} + v = \frac{L_{1}}{t_{1}}$$

$$v_{S} - v = \frac{L_{2}}{t_{2}}$$

$$v = \frac{L}{t_{1}+t_{2}}$$

mit $L = 5 \; km$, $t_{1} = 0,5 \; h$ und $L_{1}-L_{2} = L$. Aus den ersten beiden Gleichungen folgt:

$$v = \frac{L}{2t_{1}} + L_{2} \left( \frac{1}{t_{1}} - \frac{1}{t_{2}} \right).$$

Dieser Ausdruck ist nur dann mit der dritten Gleichung des obigen Systems verträglich, wenn $t_{1} = t_{2} = 0,5 \; h$ ist. Daher gilt:

$$v = \frac{L}{2t_{1}} = 5 \; km/h.$$

Aufgabe 4: (4 Punkte)
Das eine Flugzeug braucht 2 Stunden, um 1200 km zu fliegen. In dieser Zeit hat das andere Flugzeug 1600 km zurückgelegt. Die Entfernung beider beträgt

$$\vert\vec{r}\vert = \vert\vec{r}_{1} - \vec{r}_{2}\vert = \s... ... r_{2}^{2} - 2 r_{1} r_{2} \; cos(60^{o})} \approx 1442 \; km.$$

Aufgabe 2: (6 Punkte)
Die Dimensionen müssen auf beiden Seiten der Gleichungen übereinstimmen. Dieses ergibt:
a)

$$\left[ \frac{m}{s} \right]^{n} = k \left[ \frac{m}{s^{2}} \right]^{j} [m]$$

$$\left[ \frac{m^{n-j-1}}{s^{n-2j}} \right] = 1$$

Daraus folgt $n-j-1 = 0$ und $n-2j = 0$, also $n=2$ und $j=1$.
b)

$$1 = \left[ \frac{m}{s^{2}} \right]^{n} \left[ \frac{m}{s} \right]^{j} [s]^{i} = \left[ \frac{m^{n+j}}{s^{2n+j-i}} \right].$$

Dieses ergibt $n+j = 0$ und $2n+j-i = 0$, was durch $n=1$, $j = -1$ und $i = 1$ gelöst wird.
c) Das Argument der Sinusfunktion muss dimensionslos sein. Dieses ergibt zunächst:

$$1 = [m] [s]^{i} \left[ \frac{m}{s^{2}} \right]^{l} = \left[ \frac{m^{l+1}}{s^{2l-i}} \right].$$

Also $l = -1$ und $i = -2$. Weiterhin muss der Faktor vor der Sinusfunktion die Dimension einer Länge haben.

$$[m] = \left[ \frac{m}{s^{2}} \right]^{n} [s]^{j}$$

$$1 = \left[ \frac{m^{n-1}}{s^{2n - j}} \right]$$

Daher $n=1$ und $j = 2$.