\documentstyle[11pt,german,uebung]{article}
\begin{document}
\briefkopf
\Large
\centerline{L\"osungsvorschl\"age zur "Ubung Nr. 1}
\vskip 5mm
\normalsize Besprechung: {\bf Donnerstag, den 28. Oktober 1999}
\newline
\vskip 2mm
{\bf Aufgabe 1:} \hspace{10cm} (6 Punkte) \newline
Diese Aufgabe aus dem Bereich der Experimentalmathematik hat nat\"urlich
nicht immer eine eindeutige L\"osung. Die einfachsten L\"osungen sind die
folgenden: \newline
a) Den gr\"o"sten Vektor erh\"alt man nat\"urlich, wenn alle 4 Vektoren
gleichgerichtet sind, dann ist 
\begin{displaymath}
|\vec{r}_{max}| = |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}| = 10 \; cm.
\end{displaymath}
\vskip 3cm
b) Der betragsm\"assig kleinste Vektor hat die L\"ange Null. Im 
einfachsten Fall sind $\vec{a}$ und $\vec{d}$ parallel und entsprechend
$\vec{b}$ und $\vec{c}$ parallel, mit $(\vec{a} + \vec{d}) =
- (\vec{b} + \vec{c})$. Dann ist
\begin{displaymath}
|\vec{r}_{min}| = 0.
\end{displaymath}
\vskip 3cm
c) Hier erhalten wir den gr\"o"sten Vektor, wenn $\vec{a}$ 
mit $|\vec{a}| = 1 \; cm$ senkrecht
zur Ebene steht und alle anderen parallel zueinander in der Ebene liegen,
\newline \vskip 3cm
Dann ist $|\vec{e}| = |\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}| = 9 \; cm$ und
\begin{displaymath}
|\vec{r}_{max}'| = |\vec{a} + \vec{e}| = \sqrt{1 + 81} \; cm = 9,06 \; cm.
\end{displaymath}
\vskip 3cm
Den kleinsten Vektor erhalten wir jetzt, wenn wiederum $\vec{a}$ senkrecht
zur Ebene steht und der Vektor $\vec{e} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$
betragsm\"assig m\"oglichst klein wird, \newline \vskip 3cm
\begin{displaymath}
|\vec{r}_{min}'| = |\vec{a} + \vec{e}| = \sqrt{1 + 1} \; cm = 1,4 \; cm.
\end{displaymath}  
\newline \vskip 2mm
{\bf Aufgabe 3:}  \hspace{10cm}(4 Punkte) \newline
In der folgenden Skizze ist $L_{1}$ die Strecke des Schiffes bis zur Umkehr,
$L_{2}$ die Strecke des Schiffes bis zur Bergung der Kiste. 
\newline \vskip 3cm
Damit ist $L= 5 \; km = L_{1} - L_{2}$. Wenn $v$ die Geschwindigkeit des
Stromes ist und $v_{S}$ die Geschwindigkeit des Schiffes, so gilt
\begin{eqnarray}
v_{S} + v &=& \frac{L_{1}}{t_{1}} \nonumber \\
v_{S} - v &=& \frac{L_{2}}{t_{2}} \nonumber \\
v &=& \frac{L}{t_{1}+t_{2}} \nonumber 
\end{eqnarray}
mit $L = 5 \; km$, $t_{1} = 0,5 \; h$ und $L_{1}-L_{2} = L$.
Aus den ersten beiden Gleichungen folgt:
\begin{displaymath}
v = \frac{L}{2t_{1}} + L_{2} \left( \frac{1}{t_{1}} - \frac{1}{t_{2}} \right).
\end{displaymath}
Dieser Ausdruck ist nur dann mit der dritten Gleichung des obigen
Systems vertr\"aglich, wenn $t_{1} = t_{2} = 0,5 \; h$ ist. Daher gilt:
\begin{displaymath}
v = \frac{L}{2t_{1}} = 5 \; km/h.
\end{displaymath}
\newline \vskip 2mm
{\bf Aufgabe 4:} \hspace{10cm} (4 Punkte) \newline     
Das eine Flugzeug braucht 2 Stunden, um 1200  km zu fliegen. In dieser
Zeit hat das andere Flugzeug 1600 km zur\"uckgelegt. Die Entfernung
beider betr\"agt
\begin{displaymath}
|\vec{r}| = |\vec{r}_{1} - \vec{r}_{2}| = \sqrt{r_{1}^{2} + r_{2}^{2}
- 2 r_{1} r_{2} \; cos(60^{o})} \approx 1442 \; km.
\end{displaymath} 
\newline \vskip 2mm
{\bf Aufgabe 2:}  \hspace{10cm}(6 Punkte) \newline
Die Dimensionen m\"ussen auf beiden Seiten der Gleichungen \"ubereinstimmen.
Dieses ergibt: \newline
a) 
\begin{eqnarray}
\left[ \frac{m}{s} \right]^{n} &=& k \left[ \frac{m}{s^{2}} \right]^{j} [m]
\nonumber \\
\left[ \frac{m^{n-j-1}}{s^{n-2j}} \right] &=& 1 \nonumber 
\end{eqnarray}
Daraus folgt $n-j-1 = 0$ und $n-2j = 0$, also $n=2$ und $j=1$. \newline
b)
\begin{displaymath}
1 = \left[ \frac{m}{s^{2}} \right]^{n} \left[ \frac{m}{s} \right]^{j}
[s]^{i} = \left[ \frac{m^{n+j}}{s^{2n+j-i}} \right].
\end{displaymath}
Dieses ergibt $n+j = 0$ und $2n+j-i = 0$, was durch $n=1$, $j = -1$ und
$i = 1$ gel\"ost wird. \newline
c) Das Argument der Sinusfunktion muss dimensionslos sein. Dieses ergibt
zun\"achst:
\begin{displaymath}
1 = [m] [s]^{i} \left[ \frac{m}{s^{2}} \right]^{l} =
\left[ \frac{m^{l+1}}{s^{2l-i}} \right].
\end{displaymath}
Also $l = -1$ und $i = -2$. Weiterhin muss der Faktor vor der Sinusfunktion
die Dimension einer L\"ange haben. 
\begin{eqnarray}
[m] &=& \left[ \frac{m}{s^{2}} \right]^{n} [s]^{j} \nonumber \\
1   &=& \left[ \frac{m^{n-1}}{s^{2n - j}} \right] \nonumber
\end{eqnarray}
Daher $n= 1$ und $j = 2$.
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