Physik I, WS 1993/94

Übung Nr. 5

Abgabetermin: 25. November 1993
Aufgabe 1: (4 Punkte)
Bestimmen Sie die zeitlichen Mittelwerte der Funktionen

$$a) \; sin^{2}(\omega t - \phi) \; \; \; \; \; \; \; \; \; \... ...\; \left( a \; sin(\omega t) + b \; cos(\omega t) \right)^{2}$$

Aufgabe 2: (5 Punkte)
Auf einer Achterbahn fährt ein Wagen der Masse $m$ aus einer Höhe $H$ in eine vertikale Looping- Schleife mit Radius $R$ (siehe Abbildung). Der Wagen startet in der Höhe $H$ mit vernachlässigbar kleiner Geschwindigkeit. Reibung und die Rotation der Räder werde ebenfalls vernachlässigt.
a) Wie groß muß $H$ mindestens sein, damit der Wagen im oberen Teil der Schleife nicht nach unten aus der Bahn fällt ?
b) Der Wagen startet aus der Höhe $H=3R$. Wie groß ist seine Geschwindigkeit in den Punkten $A$, $B$, $C$ und $D$ ?
c) Wie groß ist unter der Bedingung von Teil b) in den Punkten $A$, $B$, $C$ und $D$ die Kraft, mit der der Wagen auf die Bahn gedrückt wird ?

Aufgabe 3: (5 Punkte)
Ein Pendel mit der Masse $m=1 \; kg$ hängt an einer $\Gamma$- förmigen Drehachse (siehe Abbildung). Der Ausleger hat die Länge $r_{0}= 10 \; cm$, die starre Pendelachse mit der Länge $l=50 \; cm$ ist mit einem reibungsfreien Scharnier an dem Ausleger befestigt. Der Pendelarm kann als masselos betrachtet werden.
a) Wie groß ist der Auslenkwinkel $\phi$, wenn die Drehachse mit Hilfe eines Motors mit der Winkelgeschwindigkeit $\omega = 10 \; s^{-1}$ in Rotation versetzt wird ?
b) Diskutieren Sie den Grenzfall $r_{0} = 0$. Gibt es in diesem Fall für alle $\omega$ einen von Null verschiedenen Auslenkwinkel $\phi$ ? Falls Sie diese Frage verneinen, interpretieren Sie das Ergebnis mit Hilfe der auftretenden Kräfte !

• Anmerkung: In Teil a) genügt eine graphische Näherungslösung.

Aufgabe 4: (6 Punkte)
Auf einer horizontalen Schiene, die um eine Achse senkrecht zur Schiene drehbar ist, stehen zwei Wagen mit jeweils der Masse $m$, die reibungsfrei auf der Schiene beweglich sind (siehe Vorlesungsversuch und Skript Seite 63). Die Wagen sind mit zwei Seilen über Umlenkrollen mit einer Feder der Federkonstanten $D$ verbunden. Die Wagen können als punktförmig angenommen werden. Zwischen der Auslenkung $x$ der Feder und dem Abstand $r$ der Wagen von der Drehachse besteht die Beziehung $r=a+x$.
a) Ein Motor bringt die Anordnung mit der Winkelgeschwindigkeit $\omega$ in Rotation. Zeichnen Sie in einem Diagramm $r$ als Funktion von $\omega^{2}$ für $a= 5 \; cm$, $a=0$ und $a= -5 \; cm$.
b) Für welche Werte von $a$ und $\omega$ ist die Lage der Wagen grundsätzlich instabil ?
c) Für welche Werte von $a$ und $\omega$ arbeitet die Anordnung als Fliehkraftregler ?
d) Für welche festen Werte von $a$ und $\omega$ herrscht für alle $r$ Gleichgewicht ?