Physik I, WS 1993/94

Rechenübungen am 13. Januar 1994

Aufgabe 1:
Eine hohle Metallkugel mit Aussendurchmesser $d_{1}$ und Innendurchmesser $d_{2}$ schwimmt auf der Oberfläche einer Flüssigkeit. Die Dichte des Metalls sei $\rho_{M}$, die der Flüssigkeit $\rho_{Fl}$. Wie groß muß ein Zusatzgewicht sein, das in die Kugel gestellt wird und das bewirken soll, daß die Kugel in der Flüssigkeit gerade unterhalb der Oberfläche schwebt ?
Aufgabe 2:
Ein Autofahrer macht eine Vollbremsung, ohne daß die Räder blockieren ($\mu_{H} = 0,8$), und kommt nach $49 \; m$ zum Stand. Welche Geschwindigkeit hatte der Wagen ?

• Nehmen Sie an, daß die Reibungskraft unabhängig von der Geschwindigkeit ist.

Aufgabe 3:
Eine kreisförmige Scheibe drehe sich um eine Achse durch den Mittelpunkt. Die Scheibe habe eine Masse $M=4 \; kg$ und einen Radius $R=20 \; cm$. Auf dem Umfang sei eine Schnur aufgewickelt, an der eine Masse von $m=6 \; kg$ hängt (siehe Abbildung). Die Scheibe sei anfangs in Ruhe.

a) Welche Geschwindigkeit $v$ hat die Masse $m$, wenn sie um $1 \; m$ abgesunken ist ?
b) Wie ändert sich die Geschwindigkeit, wenn man den Radius der Scheibe bei gleicher Masse verdoppelt ?
Aufgabe 4:
Die Überhöhung einer Eisenbahnschiene in einer Kurve mit dem Krümmungsradius $r=200 \; m$ betrage $5^{o}$. Welche Geschwindigkeit muß ein Zug einhalten, damit die Schienen gleichmäßig belastet werden ?

Lösungen
Aufgabe 1:
Auftriebskraft bei vollständig eingetauchter Kugel:

$$F_{A} = \rho_{Fl} \frac{4}{3} \pi R_{1}^{3} g = \rho_{Fl} \frac{\pi} {6} d_{1}^{3} g.$$

Gewichtskraft:

$$F_{g} = \rho_{M} \frac{4}{3} \pi (R_{1}^{3} -R_{2}^{3}) g + G = \rho_{M} \frac{\pi}{6} (d_{1}^{3} - d_{2}^{3}) g + G$$

Für den Zustand des Schwebens muß $F_{A}=F_{g}$ sein. Daraus folgt für $G$:

$$G = g \frac{\pi}{6} \left( d_{1}^{3} (\rho_{Fl} - \rho_{M}) + d_{2}^{3} \rho_{M} \right)$$

Aufgabe 2:
Die kinetische Energie $E_{kin} = (1/2) m v_{0}^{2}$ des Wagens wird vollständig durch Reibung in Wärmeenergie umgewandelt:

$$W = F_{R} s = \mu_{H} m g s = \frac{1}{2} m v_{0}^{2}.$$

Daraus folgt für die Geschwindigkeit:

$$v_{0} = \sqrt{2 \mu_{H} g s} \approx 100 \; km/h.$$

Aufgabe 3:
Energiesatz:

$$E = \frac{1}{2} I \omega^{2} + \frac{1}{2} m v^{2} = m g h$$

Mit $\omega = v/R$ folgt für die Geschwindigkeit:

$$v = \sqrt{\frac{2 m g h}{m + M/2}} = 3,8 \; m/s.$$

Aufgabe 4:
Die Schienen sind gleichmäßig belastet, wenn die resultierende Kraft aus Erdanziehung und Zentrifugalkraft senkrecht auf den Gleiskörper wirken. Daraus folgt

$$tan(\alpha ) = \frac{F_{z}}{G} = \frac{m (v^{2}/r)}{mg} = \frac{v^{2}}{gr}$$

Für die Geschwindigkeit ergibt sich:

$$v = \sqrt{g r tan(\alpha )} = 13,1 \; m/s = 47 \; km/h.$$