Physik I, WS 1993/94

Lösungen zur Nachholklausur

Aufgabe 1: (8 Punkte)
Die Druckbilanz in den beiden Fällen ist

$$p_{1} + \rho h g = p_{0}, \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; p_{2} = p_{0} + \rho h g$$

Nach Boyle-Mariotte ist $p_{1} V_{1} = p_{2} V_{2}$ oder $p_{1} l_{1} = p_{2} l_{2}$, da der der Querschnitt überall gleich ist. Dann folgt

$$(p_{0} - \rho g h ) l_{1} = (p_{0} + \rho g h ) l_{2}$$

Aufgelöst nach $p_{0}$ ergibt

$$p_{0} = \frac{l_{1}+l_{2}}{l_{1}-l_{2}} \rho g h = \underline{0,99 \cdot 10^{5} \; Pa = 0,99 \; bar}$$

Aufgabe 2: (8 Punkte)
Die durch die Temperaturänderung hervorgerufene Kraft ist

$$F_{2} = \frac{\Delta l}{l} E A = \frac{\alpha l \; \Delta t... ... = \frac{\pi}{4} \alpha E d^{2} \; \Delta t \approx 79 \; N$$

Zusammen mit der Vorspannung $F_{1}$ ergibt sich: $\underline{F=F_{1} + F_{2} = 179 \; N}$
Aufgabe 3: (9 Punkte)
a) Es gilt die Bernoulli- Gleichung:

$$\frac{1}{2} \rho_{L} v^{2} + p + \rho_{L} g h = constant$$

Der Term mit $\rho_{L} g h$ braucht hier nicht betrachtet zu werden, da $h$ bei der Strömung konstant ist. Am Schenkel 1 ist $v=0$, daher

$$p_{1} = p_{2} + \frac{1}{2} \rho_{L} v^{2}$$

Die Druckdifferenz $p_{1} - p_{2}$ erzeugt die Flüssigkeitssäule $\rho_{W} g x$, daher

$$p_{1}-p_{2} = \frac{1}{2} \rho_{L} v^{2} = \rho_{W} g x$$

Aufgelöst nach $v$ ergibt:

$$v = \sqrt{\frac{2 \rho_{W} g x}{\rho_{L}}} \approx \underline{17,4 \; m/s}$$

b) Die Flüssigkeit im Schenkel 2 steht natürlich höher.
Aufgabe 4: (9 Punkte)
Der Satellit hat eine stabile Kreisbahn, wenn zwischen der Fliehkraft $F_{F}=m \omega^{2} r = mv^{2}/r$ und der Gravitationskraft $F_{G} = \gamma m M/r^{2}$ Gleichgewicht herrscht. Daher muß gelten:

$$\frac{mv^{2}}{r} = \gamma \frac{mM}{r^{2}} \; \; \; \; \; \... ...; \; \; \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} \gamma \frac{mM}{r}$$

Die Gesamtenergie des Satelliten auf einer Kreisbahn mit Radius $r$ ist also

$$E = \frac{1}{2} m v^{2} - \gamma \frac{mM}{r} = - \frac{1}{2} \gamma \frac{mM}{r}$$

Die Energie $\Delta E$, die benötigt wird, um den Radius von $r_{1} = R_{E} + h_{1}$ auf $r_{2} = R_{E}+h_{2}$ zu vergrößern, ist dann

$$\Delta E = E_{2} - E_{1} = - \frac{1}{2} \gamma m M \left( ... ...R_{E}+h_{1})(R_{E}+h_{2})} \approx \underline{10^{10} \; J}$$

Aufgabe 5: (8 Punkte)
Die Energie des Rades ist zu Beginn der Bewegung $E= (1/2) m v^{2} + (1/2) I \omega^{2}$. Mit $\omega = v/r$ und $I = (1/2) m r^{2}$ also

$$E = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{4} m v^{2} = \frac{3}{4} m v^{2}$$

Diese Energie wird durch Rollreibung auf der Strecke $s$ verbraucht:

$$E = \frac{3}{4} m v^{2} = \mu_{R} m g s \; \; \; \; \; \rightarrow \; \; \; \; \; s = \frac{3}{4} \frac{v^{2}}{\mu_{R} g}$$

Zahlenwerte: $\underline{s \approx 765 \; m}$
Aufgabe 6: (8 Punkte)
Hier gelten Impulssatz und Energiesatz:

$$m_{1} \vec{v_{1}} + m_{2} \vec{v_{2}} = m_{1} \vec{v_{1}}' + m_{2} \vec{v_{2}}'$$

$$\frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2} = \frac{1}{2} m_{1} v_{1}'^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}'^{2}$$

Mit $\vec{v_{2}} = 0$ und $m_{1}=m_{2}$ folgen die beiden Gleichungen

$$\vec{v_{1}} = \vec{v_{1}}' + \vec{v_{2}}'$$

$$v_{1}^{2} = v_{1}'^{2} + v_{2}'^{2}$$

Quadrieren der ersten Gleichung ergibt $v_{1}^{2} = v_{1}'^{2} + v_{2}'^{2} + 2 \vec{v_{1}}' \cdot \vec{v_{2}}'$. Zusammen mit der zweiten Gleichung folgt daraus: $\vec{v_{1}}' \cdot \vec{v_{2}}' = 0$ oder $\underline{\phi = 90^{o}}$.