\documentstyle[12pt,german,briefkn]{article}
\begin{document}
\briefkopf
\vskip 5mm
\Large
\centerline{Physik I, WS 1993/94} 
\vskip 5mm
\centerline{L\"osungen zur \"Ubung Nr. 13 (Bonus"ubung)}
\normalsize  
\vskip 5mm
Besprechung: \bf 3. Februar 1994 \rm \newline
\vskip 5mm
\bf Aufgabe 1: \rm \hspace{10.5cm} (4 Punkte) \newline
Die Gesamtenergie ist die Summe aus kinetischer und potentieller Energie,
$E = E_{kin}+ E_{pot}$. Allgemein ist $x=x_{0} \; cos(\omega t + \phi )$,
daher auch $v = dx/dt = -x_{0} \omega \; sin(\omega t + \phi )$.
F"ur die kinetische Energie erhalten wir:
\begin{displaymath}
E_{kin} = \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} m x_{0}^{2} \omega^{2}
\; sin^{2} (\omega t + \phi ).  
\end{displaymath}
F"ur die potentielle Energie gilt allgemein bei der unged"ampften 
harmonischen Schwingung ein Gesetz der Form 
\begin{displaymath}
E_{pot} = \int_{0}^{x} k x \; dx = \frac{1}{2} k x^{2} = 
\frac{1}{2} m x_{0}^{2} \omega^{2} \; cos^{2}(\omega t + \phi ),
\end{displaymath}
da $\omega^{2} = k/m$. Die Gesamtenergie ist dann
\begin{displaymath}
E = E_{kin}+ E_{pot} = \frac{1}{2} m x_{0}^{2} \omega^{2} =
2 \pi^{2} m x_{0}^{2} \nu^{2} 
\end{displaymath}
mit $\omega = 2 \pi \nu$. F"ur die gesuchte Frequenz folgt: 
\begin{displaymath}
\nu = \sqrt{\frac{E}{2 \pi^{2} m x_{0}^{2}}} = \underline{50,4 \; s^{-1}}
\end{displaymath}
\vskip 5mm
\bf Aufgabe 2: \rm \hspace{10.5cm} (4 Punkte) \newline
Die allgemeine L"osung der ged"ampften Schwingung ist nach Vorlesung: 
\begin{displaymath}
x(t) = A e^{-\delta t} cos(\omega t + \phi)
\end{displaymath}
Daher folgt f"ur das Verh"altnis der Auslenkungen bei zwei 
aufeinanderfolgenden Schwingungen: 
\begin{displaymath}
\frac{x(2T)}{x(T)} = \frac{A e^{-2 \delta T} cos(2\omega T + \phi)}
{A e^{-\delta T} cos(\omega T + \phi)} = e^{-\delta T}
\end{displaymath}
Nach Aufgabenstellung also $e^{-\delta T} = 0,4$, daher
\begin{displaymath}
\delta = - \frac{ln(0,4)}{T} = - \frac{ln(0,4)}{0,5} = 1,83 \; s^{-1} 
\end{displaymath}
F"ur die Kreisfrequenz der unged"ampften Schwingung gilt nach Vorlesung
$\omega_{0}^{2} = \omega^{2} + \delta^{2}$ und daher f"ur die Frequenz:
\begin{displaymath}
\nu_{0} = \sqrt{\nu^{2} + \frac{\delta^{2}}{4 \pi^{2}}} =
\sqrt{\frac{1}{T^{2}} + \frac{\delta^{2}}{4 \pi^{2}}} = 
\underline{2,02 \; s^{-1}}
\end{displaymath}
\vskip 5mm
\bf Aufgabe 3: \rm \hspace{10.5cm} (6 Punkte) \newline
a) Die Bewegungsgleichung ist 
\begin{displaymath}
m \frac{d^{2} x}{dt^{2}} = - m' \frac{g}{L} x - \beta \frac{dx}{dt}
\end{displaymath}
Hierbei ist $m'$ die um den Auftrieb verringerte Masse des Pendelk"orpers,
\begin{displaymath}
m' = m - \frac{4}{3} \pi \rho r^{3} = 0,032 \; kg = 32 \; g
\end{displaymath}
Wir versuchen den L"osungsansatz
\begin{eqnarray}
x &=& A e^{kt} \nonumber \\ \frac{dx}{dt} &=& A k e^{kt} \nonumber \\
\frac{d^{2}x}{dt^{2}} &=& A k^{2} e^{kt} \nonumber 
\end{eqnarray}
Dieses f"uhrt auf die Gleichung
\begin{displaymath}
k^{2} + \frac{m'}{m} \frac{g}{L} + \frac{\beta}{m} k = 0 \; \; \; \; \; 
\rightarrow \; \; \; \; \; k_{\pm} = - \frac{\beta}{2m} \pm i
\sqrt{ \frac{m'g}{m L} - \frac{\beta^{2}}{4 m^{2}} }
\end{displaymath}
Die zwei partikul"aren L"osungen sind also: 
\begin{displaymath}
x_{\pm}(t) = A_{\pm} e^{-\frac{\beta}{2m} t} e^{\pm i \omega t}
\end{displaymath}
mit
\begin{displaymath}
\omega = \sqrt{ \frac{m' g}{m L} - \frac{\beta^{2}}{4 m^{2}} } 
= 1,51 \; s^{-1}
\end{displaymath}
F"ur die Schwingungsdauer erhalten wir
\begin{displaymath}
T = \frac{2\pi}{\omega} = \underline{4,16 \; s}
\end{displaymath}
b) Der aperiodische Grenzfall wird erreicht f"ur $\omega = 0$, daher
\begin{displaymath}
\frac{m'g}{m L} = \frac{\beta^{2}}{4 m^{2}} \; \; \; \; \; \rightarrow
\; \; \; \; \; \beta = 2 \sqrt{m m' \frac{g}{L}} = 
\underline{0,25 \; kg/s} 
\end{displaymath}
\newpage
\bf Aufgabe 4: \rm \hspace{10.5cm} (6 Punkte) \newline
Die Schwerkraft erzeugt eine konstante Auslenkung der Feder, verschiebt
also lediglich den Nullpunkt der Auslenkung. Die Bewegungsgleichung
ist
\begin{displaymath}
F_{0} \; sin(\omega t) - m \frac{dx^{2}}{dt^{2}} - \beta \frac{dx}{dt}
- D x = 0
\end{displaymath}
Im Resonanzfall gilt bei schwacher D"ampfung 
\begin{displaymath}
\omega \approx \omega_{0} = \frac{2 \pi}{T_{0}} = 4 \pi \; s^{-1}  
\end{displaymath}
Mit dem L"osungsanzatz ($\omega = \omega_{0}$) gilt
\begin{displaymath}
x = A_{res} \; sin(\omega_{0} t - \phi) \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 
\frac{d^{2}x}{dt^{2}} = - A_{res} \omega_{0}^{2} \; sin(\omega_{0} t - \phi )
= - \omega_{0}^{2} x
\end{displaymath}
Daher auch (beachte $\omega_{0}^{2} = D/m$):
\begin{displaymath}
 - m \frac{d^{2}x}{dt^{2}} - D x = m \omega_{0}^{2} x - D x = 0  
\end{displaymath} 
Im Resonanzfall ist also bei schwacher D"ampfung die "au"sere Kraft 
gleich der Reibungskraft:
\begin{displaymath}
F_{0} \; sin(\omega_{0} t) = \beta \frac{dx}{dt} = \beta A_{res} \omega_{0}
\; cos(\omega_{0} t - \phi)
\end{displaymath}
Wegen 
\begin{displaymath}
cos(\omega_{0} t - \phi) = cos(\omega_{0} t) cos(\phi) + sin(\omega_{0} t) 
sin(\phi)
\end{displaymath}
und 
\begin{displaymath}
tg(\phi(\omega_{0})) = \infty \; \; \; \; \; \rightarrow \; \; \; \; \; 
\phi = \frac{\pi}{2}
\end{displaymath}
gilt dann auch
\begin{displaymath}
F_{0} \; sin(\omega_{0} t) = \beta A_{res} \omega_{0} \; sin(\omega_{0} t)
\end{displaymath}
oder
\begin{displaymath}
F_{R,0} = \beta A_{res} \omega_{0} = F_{0} = \underline{10^{-3} \; N}
\end{displaymath}
F"ur die Reibungszahl folgt entsprechend
\begin{displaymath}
\beta = \frac{F_{0}}{v_{0}} = \frac{F_{0}}{A_{res} \omega_{0}} =
\underline{1,6 \cdot 10^{-3} \; kg/s}
\end{displaymath}
b) Die Leistung kann allgemein durch die Kraft und Geschwindigkeit 
ausgedr"uckt werden:  
\begin{displaymath}
P(t) = F v = F_{0} v_{0} sin^{2}(\omega_{0} t)
\end{displaymath}
Die mittlere Leistung ist dann
\begin{displaymath}
\overline{P} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} P(\tau ) d\tau =
\frac{1}{2} F_{0} v_{0} = \underline{6,28 \cdot 10^{-4} \; Nm/s} 
\end{displaymath}
c) Im Resonanzfall besteht zwischen Geschwindigkeit $v$ und der "au"seren
Kraft $F$ kein Phasenunterschied. Die Amplitude der Geschwindigkeit hat
ein Maximum. Daher hat auch die Arbeit, die w"ahrend einer Periode 
von der "au"seren Kraft geleistet wird, ein Maximum: 
\begin{displaymath}
W = \int_{0}^{s} F ds = \int_{0}^{T} F v dt = max.
\end{displaymath}
\end{document}