Physik I, WS 1993/94

Lösungen zur Übung Nr. 12

Besprechung: 27. Januar 1994
Aufgabe 1: (5 Punkte)
Die im folgenden gewählten Bezeichnungen sind in der Skizze angegeben:

In vertikaler Lage gilt, wobei wir die Höhenabhängigkeit des Druckes in den Luftsäulen vernachlässigen ( $\rho_{Luft} g l_{i} \ll p_{0}$),

$$p_{1} = \rho_{Hg} g h + p_{2} \; \; \; \; \; \rightarrow \; \; \; \; \; p_{1} - p_{2} = \rho_{Hg} g h$$

Nach Boyle ist $p_{1} A l_{1} = p_{0} A l_{0}$ und $p_{2} A l_{2} = p_{0} A l_{0}$, wobei $A$ der Querschnitt des Röhrchens ist. Daher

$$p_{1} - p_{2} = p_{0} l_{0} \left( \frac{1}{l_{1}} - \frac{... ... = p_{0} l_{0} \frac{l_{2}-l_{1}}{l_{1}l_{2}} = \rho_{Hg} g h$$

Aufgelöst nach $p_{0}$ folgt:

$$p_{0} = \frac{\rho_{Hg} g h}{l_{0}} \frac{l_{1}l_{2}}{l_{2}... ...e{2,48 \cdot 10^{4} \; Pa = 0,248 \; bar \approx 0,25 \; atm}$$

Aufgabe 2: (4 Punkte)
a) Nach Bernoulli gilt für die Drücke am Abfluß und an der Oberfläche des Gefäßes:

$$\frac{1}{2} \rho v^{2} = \rho g z + \frac{1}{2} \rho v_{0}^{2}$$

Hierbei ist $v$ die Geschwindigkeit in der Öffnung und $v_{0} = dz/dt$ die Senkgeschwindigkeit des Wasserspiegels. $v$ kann mit Hilfe der Kontinuitätsgleichung, $v_{0} \pi r^{2} = v A$ durch den aktuellen Radius der Wasseroberfläche ausgedrückt werden. Daher folgt:

$$z(r) = \frac{1}{2g} \left( v^{2} - v_{0}^{2} \right) = \fra... ...}^{2}} {2 g} \left( \frac{\pi^{2} r^{4}}{A^{2}} - 1 \right)$$

b) Damit die Uhr eine Stunde laufen kann, muß die Anfangshöhe des Wasserspiegels $h = v_{0} T$ mit $T=1 \; h = 3600 \; s$ sein, d.h. $h = 0,36 \; m$. Der maximale Radius ist daher

$$R = \sqrt{\frac{A}{\pi}} \left( 1 + \frac{2gh}{v_{0}^{2}} \right)^{1/4} = \underline{1,63 \; cm}$$

Aufgabe 3: (6 Punkte)
Die Geschwindigkeitsverteilung der Luft als Funktion des Radius $r$ folgt aus der Kontinuitätsgleichung $A_{1} v_{1} = A v(r)$ mit $A_{1} = \pi r_{1}^{2}$ und $A= 2 \pi r h$ zu

$$v(r) = \frac{v_{1} r_{1}^{2}}{2 h r}$$

Die Anziehungskraft der Platten ist durch die Druckdifferenz des statischen Außendrucks zum statischen Innendruck gegeben. Sei $r_{2}$ der Radius der Platten, so gilt nach Bernoulli für einen beliebigen Radius $r$:

$$p(r) + \frac{1}{2} \rho v^{2}(r) = p(r_{2}) + \frac{1}{2} \rho v^{2}(r_{2})$$

Der statische Druck $p(r_{2})$ ist aber identisch mit dem statischen Aussendruck (Randbedingung). Die Druckdifferenz ist also

$$\Delta p(r) = p(r_{2}) - p(r) = \frac{1}{2} \rho v^{2}(r) -... ...h^{2}} \left( \frac{1}{r^{2}} - \frac{1}{r_{2}^{2}} \right)$$

Die Kraft für ein infinitesimales Kreissegment mit Radius $r$ und Breite $dr$ ist nun

$$dF = \Delta p(r) \; 2 \pi r \; dr = \frac{\pi \rho v_{1}^... ...}}{4 h^{2}} \left( \frac{1}{r} - \frac{r}{r_{2}^{2}} \right)$$

Die Gesamtkraft folgt durch Integration von $r_{1}$ bis $r_{2}$:

$$F = \int_{r_{1}}^{r_{2}} dF = \frac{\pi \rho v_{1}^{2} r_{1... ...ln \left( \frac{r_{2}}{r_{1}} \right) - \frac{1}{2} \right)$$

Im letzten Schritt wurde der Term mit $r_{1}^{2}/r_{2}^{2}$ vernachlässigt. Falls hier jemand von $0$ bis $r_{2}$ zu integrieren versucht, der bekommt natürlich Schwierigkeiten mit dem $ln(0)$. Im übrigen darf man auch den Beitrag für $r< r_{1}$ nicht berücksichtigen, da in diesem Bereich natürlich keine Anziehungskraft zwischen den Platten herrscht.
Zahlenwerte: $\underline{F = 1,39 \cdot 10^{5} \; N}$.

• Für diese Aufgabe sollten die wesentlichen 4 Schritte als Anleitung in den Übungen am 20.1.94 erläutert werden:
• 1. $v(r)$ aus Kontinuitätsgleichung.
• 2. $\Delta p(r) = p(r) - p(r_{2})$ aus Bernoulli- Gleichung
• 3. $p(r_{2})$ identisch mit dem Aussendruck
• 4. $F = \int dF = \int \Delta p(r) dA$.

Aufgabe 4: (5 Punkte)
Die Bahngeschwindigkeit beim Radius $r$ ist $v(r) = r \omega$. Das Geschwindigkeitsgefälle zwischen ruhender Platte und rotierender Scheibe ist $dv/dz = v/d$. Die aufzuwendende Kraft für einen inifinitesimalen Kreisausschnitt ist also

$$dF = \eta \; dA \; \frac{dv}{dz} = \eta (2\pi r \; dr) \frac{v(r)}{d} = \frac{2 \pi \eta \omega}{d} r^{2} \; dr$$

Entsprechend das aufzuwendende Drehmoment:

$$d\tau = r \; dF = \frac{2\pi \eta \omega}{d} r^{3} \; dr$$

Integration von $0$ bis $R$ führt auf

$$\tau = \frac{\pi \eta \omega R^{4}}{2 d} = \underline{157 \; J}$$

Für die Leistung ergibt sich

$$P = \tau \omega = \underline{15700 \; J/s = 15,7 \; kW}$$