Physik III, WS 1992/93

Übung Nr. 6

Abgabetermin: 2. Dezember 1992
Aufgabe 1: (5 Punkte)
Für die abgestrahlte Intensität eines Dipols gilt nach Vorlesung:

$$\overline{I(\theta,r)} = \frac{1}{2} \frac{\omega^{4} p_{0}... ...4\pi)^{2} \epsilon_{0} c^{3}} \; \frac{sin^{2}\theta}{r^{2}}.$$

a) Zeigen Sie, daß die Orte gleicher Intensität auf einem Kreis liegen, der den Mittelpunkt des Dipols berührt.
b) Berechnen Sie die gesamte ausgestrahlte Leistung.
Aufgabe 2: (5 Punkte)
Die abgestrahlte Leistung eines Teilchens mit der Geschwindigkeit $v=\beta c$ auf einer Kreisbahn mit dem Radius $R$ beträgt

$$P = \frac{e^{2} c}{6 \pi \epsilon_{0} R^{2}} \; \frac{\beta^{4}}{(1-\beta^{2})^{2}}.$$

Hierbei ist $c$ die Vakuumlichtgeschwindigkeit und $e$ die Einheitsladung.
a) Gegeben sei ein Elektronenspeicherring mit 3,1 $km$ Radius und einer Energie von $E=45 \; GeV$. Wieviel Energie $\Delta E$ muß einem Elektron pro Umlauf zugeführt werden, damit es auf einer Kreisbahn bleibt ?
b) Bestimmen Sie für gleiche Radien $R$ und gleiche Energien $E$ das Verhältnis $\Delta E(e^{-})/\Delta E(p)$ der Energieverluste pro Umlauf für Elektronen und Protonen.

• Hinweis: Der relativistische Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit $v$, Impuls $p$ und Energie $E$ ist durch $v=pc^{2}/E$ und $E^{2} = p^{2} c^{2} + m^{2} c^{4}$ gegeben, wobei $m$ die Masse des Teilchens ist.
• Anmerkung: Bei den hohen Energien dieser Aufgabe ist $m c^{2} \ll E$.

Aufgabe 3: (6 Punkte)
Ein Koaxialkabel besteht aus einem Innenleiter mit Radius $r_{1}$ und einem konzentrischen Außenleiter mit Radius $r_{2}$. Zwischen beiden Leitern befindet sich ein Dielektrikum mit der relativen Dielektrizitätskonstanten $\epsilon_{r}$ und der relativen Permeabilität $\mu_{r} = 1$.
a) Berechnen Sie die Kapazität und Induktivität pro Längeneinheit. Benutzen Sie zur Herleitung von $C/l$ die Beziehung $Q=C U$ und das Gaußsche Gesetz und zur Herleitung von $L/l$ die Beziehung $\Phi_{m}= L I$, wobei $\Phi_{m}$ der durch einen Strom I hervorgerufene magnetische Fluß ist. Führen Sie die Rechnungen noch einmal durch, auch wenn Sie die entsprechenden Aufgaben in Physik II bereits gelöst haben.
b) Wie groß ist die Phasengeschwindigkeit und der Wellenwiderstand für dieses Kabel ? Ohmsche Widerstände können vernachlässigt werden.
c) Wie müssen Sie $\epsilon_{r}$ und das Verhältnis $r_{2}/r_{1}$ der Radien wählen, falls Sie ein Kabel mit Wellenwiderstand von $50 \; \Omega$ und einer Phasengeschwindigkeit gleich der Hälfte der Vakuumlichtgeschwindigkeit bauen wollen ?
Aufgabe 4: (4 Punkte)
Zwei gleiche parallele Drähte mit Radius $r=5 \; mm$ befinden sich im Abstand $a= 10 \; cm$ in Luft ( $\epsilon_{r}=1, \; \mu_{r} = 1$). Die Induktivitätsbelegung dieser Doppelleitung ist

$$L^{\ast} = \frac{L}{l} = \frac{\mu_{0}}{\pi} \left( ln( \frac{a}{r} ) + \frac{1}{4} \right).$$ (1)

Ohmsche Widerstände können vernachlässigt werden. Wie groß ist der Wellenwiderstand dieser Leitung ?