Physik III, WS 1992/93

Rechenübungen am 13. Januar 1993

Interferenz und Kohärenz
Eine punktförmige monochromatische Lichtquelle existiert nur als mathematische Idealisierung. Selbst die beste Quelle strahlt in einem endlichen, wenn auch engen Frequenzbereich. Ein mögliches Modell der Lichtaussendung hatten wir bereits in der Aufgabe 1 der Übung Nr.4 diskutiert, nämlich die streng periodische Aussendung von gedämpften, zeitlich begrenzten Lichtwellen. Dieses Modell ist natürlich sehr vereinfacht, in Wirklichkeit werden die begrenzten Wellenzüge an statistisch verteilten Zeitpunkten ausgesandt. Auf der anderen Seite führte die Berücksichtigung der Dämpfung bereits zu erheblichen mathematischen Schwierigkeiten. Daher diskutieren wir im folgenden die Vorstellung, daß sich die Strahlung aus endlich vielen ungedämpften Wellenzügen zusammensetzt, bei denen der Zeitpunkt der Aussendung einer statistischen Verteilung gehorcht. Ein einzelner derartiger Wellenzug besteht aus $N$ Wellenlängen mit der festen Wellenlänge $\lambda_{0}$, der sich mit der Gruppengeschwindigkeit entlang der Ausbreitungsrichtung bewegt. Im folgenden sehen wir weiterhin von Dispersionseffekten ab, sodaß $c=c_{ph}=c_{gr}$.

Die Länge eines solchen Wellenzuges nennt man die Kohärenzlänge $\Delta l$ und die Zeit, die die Welle braucht, um an einem festen Ort $z$ vorbeizustreichen, nennt man die Kohärenzzeit $\Delta t$. Beide Größen sind durch $\Delta l = c \Delta t$ miteinander verknüpft.
Zur Beobachtung von Interferenzeffekten wird nun häufig dieser eine Wellenzug in zwei korrelierte Wellenzüge aufgeteilt, z.B. durch Reflexion und Brechung, wie in der folgenden Skizze angedeutet.

Der einfallende Lichtstrahl auf der linken Seite der Skizze besitzt eine endliche Länge $\Delta l$ und trifft auf eine Glasplatte der Dicke $d$. Ein Teil der Amplitude wird an der ersten Begrenzungsfläche reflektiert, der andere Teil wird in die Glasplatte hineingebrochen, an der zweiten Begrenzungsfläche teilweise reflektiert und verläßt parallel zum Lichtstrahl $S_{1}$ wieder die Glasplatte. Über ein Linse werden beide Lichtstrahlen wieder zusammengeführt, allerdings jetzt mit einem Gangunterschied. Es ist klar, daß dieser Gangunterschied sehr viel kleiner als die Kohärenzlänge sein muß, damit überhaupt eine Interferenz beobachtet werden kann.
Nach Fourier kann man einen zeitlich und örtlich begrenzten Wellenzug als Summe unendlich ausgedehnter, und damit monochromatischer Wellen beschreiben. Man kann die Fourierentwicklung entweder in der Zeit schreiben, wobei der Ort $z$ festgehalten wird,

$$E(t) = \int_{0}^{\infty} a(\omega ) cos(\omega t) d\omega + \int_{0}^{\infty} b(\omega ) sin(\omega t) d\omega$$

$$a(\omega ) = \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} E(t) cos(\omega t) dt$$

$$b(\omega ) = \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} E(t) sin(\omega t) dt$$

Hierbei erhält man eine Darstellung der Welle im Frequenzraum. Man kann die Fourierentwicklung genauso gut im Ortsraum durchführen, wobei die Zeit $t$ festgehalten wird:

$$E(z) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} a(k) cos(kz) dk + \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} b(k) sin(kz) dk$$

$$a(k) = \int_{-\infty}^{\infty} E(z) cos(kz) dz$$

$$b(k) = \int_{-\infty}^{\infty} E(z) sin(kz) dz$$

Hierbei erhält man eine Darstellung der Welle im Raum der Wellenzahlen b.z.w. der Wellenlängen. Im folgenden benutzen wir die zweite Methode. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir den Wellenzug symmetrisch zum Koordinatenursprung wählen. Das Spektrum der Wellenlängen darf natürlich nicht von der speziellen Wahl des Ortes abhängen.

$$E(z) = \lbrace \begin{array}{ccc} E_{0} cos(k_{0}z) & f''ur... ...a l/2 \\ 0 & f''ur & \vert z\vert \geq \Delta l/2 \end{array}$$ (1)

Mit diesem Ansatz ist $E(z)$ eine gerade Funktion, daher $b(k)=0$. Weiterhin ist

$$a(k) = \int_{-\Delta l/2}^{\Delta l/2} E_{0} cos(k_{0}z) cos(kz) dk$$

$$= \frac{E_{0}}{2} \int_{-\Delta l/2}^{\Delta l/2} \left( cos[(k_{0} + k)z] + cos[(k_{0}-k)z] \right) dk$$

$$= \frac{E_{0}\Delta l}{2} \left( \frac{sin[(k_{0}+k)\Delta l/2]} {(... ...}+k)\Delta l/2} + \frac{sin[(k_{0}-k)\Delta l/2]} {(k_{0}-k)\Delta l/2} \right)$$

Für $\Delta l/2 \gg \lambda_{0}$ ist auch $(k_{0}+k)\Delta l/2 \gg 2 \pi$ und daher verschwindet der erste Term in der großen Klammer näherungsweise, sodaß

$$a(k) \approx \frac{E_{0}\Delta l}{2} \left( \frac{sin[(k_{0}-k)\Delta l/2]} {(k_{0}-k)\Delta l/2} \right)$$ (2)

Dieses ist also die Amplitude der Oberwelle mit Wellenzahl $k$ b.z.w. Wellenlänge $\lambda = 2\pi /k$. Zur Diskussion zeigen wir im folgenden das Aussehen der Funktion $(sinx)/x$,

und bemerken, daß die Breite im Hauptmaximum $\approx \pi$ ist. Die Breite der Verteilung der Wellenzahlen ist also entsprechend durch

$$(k_{0}-k) \frac{\Delta l}{2} = \Delta k \frac{\Delta l}{2} \approx \pi$$

gegeben. Wegen $\vert dk\vert = 2\pi d\lambda /\lambda_{0}^{2}$ folgt sofort

$$\Delta l = \frac{\lambda_{0}^{2}}{\Delta \lambda}$$

Wir haben damit eine Beziehung gefunden zwischen der Länge $\Delta l$ eines Wellenzugs und der Breite $\Delta \lambda$ der Verteilung der Wellenlängen, die in diesem begrenzten Wellenzug enthalten sind. Unsere Rechnung ging von einem sehr einfachen Modell aus, daher kann das Ergebnis durchaus um einen Faktor 2 falsch sein. Größenordnungsmäßig ist die obige Formel aber korrekt. Genauer werden diese Beziehungen in der Quantenoptik hergeleitet.

Aufgabe 1:
Leiten Sie eine Beziehung für die Kohärenzlänge eines Wellenzuges als Funktion der Frequenzbreite (Bandbreite) $\Delta \nu$ her.
Aufgabe 2:
Sonnenlicht besitzt eine Bandbreite von etwa $5\cdot 10^{14} \; s^{-1}$. Schätzen Sie hieraus die Kohärenzlänge und Kohärenzzeit von Sonnenlicht ab.
Aufgabe 3:
Die spektrale Reinheit einer Quelle beschreibt man durch den Quotienten $\Delta \nu / \overline{\nu}$, der sogenannten Frequenzstabilität. $\overline{\nu}$ ist hierbei der Mittelwert der Frequenzen. Dieser kann im allgemeinen mit $\nu_{0}$ gleichgesetzt werden. Eine Quecksilber- Niederdrucklampe ( $\lambda=564 \;nm$) besitzt die Bandbreite $\Delta \nu = 1000 \; MHz$. Berechnen Sie Kohärenzlänge, Kohärenzzeit und Frequenzstabilität.
Aufgabe 4:
Das von einem Filter durchgelassene rote Licht der Wellenlänge $\lambda_{0}= 650 \; nm$ setzt sich aus Wellenzügen zusammen, die etwa $50 \lambda_{0}$ lang sind. Wie groß ist die Linienbreite $\Delta \lambda$ des Lichtes hinter dem Filter ?
Aufgabe 5:
Zeigen Sie, daß der Reziprokwert der Frequenzstabilität einer Strahlungsquelle größenordnungsmäßig die Anzahl der Wellenlängen eines abgestrahlten Wellenzuges angibt. Diese Größe nennt man daher auch die Güte einer Lichtquelle.
Schlußbemerkung:
In der folgenden Tabelle sind Werte für Bandbreite, Kohärenzzeit, Kohärenzlänge und Güte verschiedener Strahlungsquellen zusammengefaßt.

Lösungen zu den Rechenübungen am 13.1.93
Aufgabe 1:
Aus $\lambda=c/\nu$ folgt $d\lambda = -(c/\nu^{2}) d\nu$ und daher $\Delta \lambda = (c/\nu^{2}) \Delta \nu$. Daher

$$\Delta l = \frac{\lambda_{0}^{2}}{\Delta \lambda} = \frac... ...\nu_{0}^{2}}{c} \frac{1}{\Delta \nu} = \frac{c}{\Delta \nu}.$$

Aufgabe 2:

$$\Delta \nu = 5 \cdot 10^{14} \; s^{-1}$$

$$\Delta t = \frac{c}{\Delta l} = \frac{1}{\Delta \nu} = 0,2 \cdot 10^{-14} \; s$$

$$\Delta l = c \Delta t = 0,6 \cdot 10^{-6} \; m = 0,6 \; \mu m$$

Bei Sonnenlicht ist die Kohärenzlänge ungefähr gleich der Wellenlänge.
Aufgabe 3:
Wegen $\Delta \nu=10^{9} \; s^{-1}$ und $\overline{\nu} \approx \nu_{0} = c/\lambda = 5,32 \cdot 10^{14} \; s^{-1}$ folgt

$$\Delta t = \frac{1}{\Delta \nu} = 10^{-9} \; s$$

$$\Delta l = c \Delta t = 3 \cdot 10^{-1} \; m = 30 \; cm$$

$$\frac{\Delta \nu}{\overline{\nu}} = 1,9 \cdot 10^{-6}$$

Aufgabe 4:
Da $\Delta l = 50 \lambda_{0}$, folgt:

$$\Delta \lambda = \frac{\lambda_{0}^{2}}{\Delta l} = \frac{\lambda_{0}}{50} = 13 \; nm$$

Aufgabe 5:
Setze $\Delta l = N \lambda_{0}$, wobei $N$ die Anzahl der Wellenlängen im Wellenzug mit der Kohärenzlänge $\Delta l$ ist. Daher

$$\frac{\overline{\nu}}{\Delta \nu} \approx \frac{\nu_{0}}{\D... ...}{c} N \lambda_{0} = \frac{1}{\lambda_{0}} N \lambda_{0} = N$$