Physik III, WS 1992/93

Rechenübungen am 2. Dezember 1992

Grundlagen der paraxialen Matrizen- Optik
In der Vorlesung werden die Formeln für Reflexion und Brechung an geraden und gekrümmten Flächen diskutiert. Es zeigt sich dabei, daß es ausgesprochen mühsam und unübersichtlich ist, mit Hilfe dieser Formeln die Abbildungsgesetze für kompliziertere optische Systeme herzuleiten und zu diskutieren. In dieser Übung wollen wir ein mathematisches Verfahren kennenlernen, mit dessen Hilfe man in einfacher Weise die kompliziertesten optischen Systeme studieren kann. Dieses Verfahren eignet sich insbesondere für Anwendungen auf Rechenanlagen und ist daher gerade in den letzten Jahrzehnten außerordentlich gut ausgearbeitet worden. Wir beschränken uns hier auf die paraxiale Optik, d.h. wir betrachten nur Lichtstrahlen, die nahe zur optischen Achse verlaufen und deren Winkel mit der optischen Achse klein sind. Wir wählen die $z$- Achse als optische Achse und bezeichnen mit $r$ den Abstand eines Punktes von der $z$- Achse. In der paraxialen Optik verlaufen alle Lichtstrahlen in einer Ebene durch die optische Achse. Der Abstand $r$ liege genau in dieser Ebene. Wir definieren einen zweidimensionalen Vektor $\vec{q}$, dessen Komponenten einmal der Abstand $r$, und zum anderen die Richtung $r'=dr/d\vert z\vert$ bezüglich der optischen Achse sind, d.h.

$$\vec{q} = \left( \begin{array}{c} r \\ r' \end{array} \right... ... \begin{array}{c} r(z) \\ dr/d\vert z\vert \end{array} \right)$$ (1)

In der paraxialen Optik gilt die Näherung $r'=dr/d\vert z\vert=tan \theta \approx sin \theta \approx \theta$, wobei $\theta$ der Winkel des Lichtstrahls mit der optischen Achse ist. Die geradliniege Bewegung eines Lichtstrahls $n$ von Punkt $z_{1}$ bis zum Punkt $z_{2}$ läßt sich darstellen durch die Transformation (siehe Abbildung oben):

$$r_{2} = r_{1} + d \cdot r_{1}'$$

$$r_{2}' = r_{1}',$$

wobei $d=\vert z_{2}-z_{1}\vert$ die Länge der Strecke ist. Eine Translation ändert natürlich nicht die Steigung, bzw den Winkel des Lichtstrahls mit der optischen Achse, sondern nur den Abstand $r$. Diese Translation kann auch mit Hilfe einer Matrizen- Gleichung in der folgenden Form geschrieben werden:

$$T : \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \left( \begin{array}{c} r... ... \left( \begin{array}{c} r_{1} \\ r_{1}' \end{array} \right).$$ (2)

Die Matrix selbst nennt man die Translationsmatrix $T$ oder auch $T_{21}$, um anzudeuten, daß eine Transformation vom Punkt $z_{1}$ zum Punkt $z_{2}$ durchzuführen ist.
Als nächstes diskutieren wir die Reflexion eines Lichtstrahls an einer sphärischen Begrenzung. Hierbei ändert sich nicht der Abstand zur optischen Achse, sondern nur die Richtung bzw der Winkel des Strahls mit der optischen Achse. In Matrizen- Schreibweise gilt dann:

$$R : \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \left( \begin{array}{c} r... ...t) \left( \begin{array}{c} r_{1} \\ r_{1}' \end{array}\right).$$ (3)

Der Krümmungsradius $R$ kann hierbei positiv oder negativ sein, je nachdem ob die gekrümmte Fläche dem Lichtstrahl konvex oder konkav erscheint. (siehe nachstehende Skizze). Die Matrix $R$ ist die Reflexionsmatrix. Man schreibt hierfür auch $R_{21}$, um anzudeuten, daß eine Reflexion an der Trennfläche von Medium 1 und Medium 2 stattgefunden hat.

Als letzte Transformation benötigen wir noch die Brechung an Begrenzungsflächen zwischen zwei Medien. Diese ist gegeben durch

$$B : \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \left( \begin{array}{c} r... ...) \left( \begin{array}{c} r_{1} \\ r_{1}' \end{array} \right)$$ (4)

Die Vorzeichenkonvention für $R$ ist die gleiche wie bei der Reflexion.
Die hier definierte Vorzeichenkonvention ist leider nicht eindeutig in verschiedenen literarischen Darstellungen der Matrizen- Optik. Wir widerholen daher unsere Vorzeichenkonvention noch einmal:
$R$ ist positiv, wenn die Krümmung von der Richtung des Lichtstrahls aus gesehen konvex ist, $R$ ist negativ, wenn die Krümmung von der Richtung des Lichtstrahls aus gesehen konkav ist. Im übrigen ist es empfehlenswert, die Vorzeichen von $R$ bereits bei der Aufstellung der Transformationen einzusetzen, sodaß in den Rechnungen selbst $R$ stets positiv ist.
Schließlich sollte noch erwähnt werden, daß die Transformationen der Brechung und Reflexion auch für den Grenzfall $R \to \infty$ gelten, d.h. auch für ebene Begrenzungsflächen gültig sind.
Durch Mehrfachanwendung kann man mit Hilfe dieser drei Transformationen beliebig komplizierte Systeme zusammensetzen. Wir demonstrieren das Verfahren an einigen einfachen Beispielen.
Beispiel 1: Das erste Beispiel soll noch einmal zeigen, daß das Brechungsgesetz durch diese Transformationen richtig beschrieben wird.

Die Transformation besteht aus 3 Schritten. Zunächst führen wir eine Translation vom Punkt $z_{1}$ zum Punkt $z_{0}$, der $z$- Koordinate der Begrenzungsfläche. Schließlich führt eine weitere Translation zum Punkt $z_{2}$. Man beachte, daß bei der Brechung in diesem Fall $-(n_{2}-n_{1})/(n_{2} R) \to 0$, da $R \to \infty$.

$$\left( \begin{array}{c} r_{2} \\ r_{2}' \end{array} \right) ... ...M \left( \begin{array}{c} r_{1} \\ r_{1}' \end{array} \right)$$ (5)

wobei $d_{1} = \vert z_{0}-z_{1}\vert$ und $d_{2} = \vert z_{2} - z_{0}\vert$. Ausmultiplizieren der Matrizen führt dann auf:

$$M = \left( \begin{array}{cc} 1 & d_{1}+ d_{2} n_{1}/n_{2} \\ 0 & n_{1}/n_{2} \end{array} \right)$$ (6)

Die Transformation lautet ausgeschrieben:

$$r_{2} = r_{1} + \frac{n_{2} d_{1} + n_{1} d_{2}}{n_{2}} r_{1}'$$ (7)

$$r_{2}' = (n_{1}/n_{2}) r_{1}'$$ (8)

Da $r_{2}' = tan \theta_{2} \approx sin \theta_{2}$ und $r_{1}' = tan \theta_{1} \approx sin \theta_{1}$, folgt aus der zweiten Gleichung

$$n_{2} sin\theta_{2} = n_{1} sin\theta_{1},$$ (9)

also das uns bekannte Brechungsgesetz.
Aufgabe 1:
Zeigen Sie die Gültigkeit des Reflexionsgesetzes an einer ebenen Begrenzungsfläche mit Hilfe der paraxialen Matrizen- Optik.
Beispiel 2:
Unser zweites Beispiel behandelt die Reflexion an einer sphärischen Kugelfläche.

Wir setzen $d_{1} = \vert z_{0}-z_{1}\vert$ und $d_{2} = \vert z_{2} - z_{0}\vert$. Die Transformation lautet (man beachte $R<0$, da Begrenzung konkav):

$$\left( \begin{array}{c} r_{2} \\ r_{2}' \end{array} \right) ... ...2} - 2d_{1}d_{2}/R \\ -2/R & 1 - 2d_{1} R \end{array} \right)$$ (10)

Die Transformation lautet also ausgeschrieben:

$$r_{2} = (1-2 \frac{d_{2}}{R}) r_{1} + (d_{1} +d_{2} - \frac{2d_{1} d_{2}}{R} ) r_{1}'$$ (11)

$$r_{2}' = -\frac{2}{R} r_{1} +(1-\frac{2d_{1}}{R} ) r_{1}'$$ (12)

Zur Berechnung des Brennpunkts nehmen wir Strahlen, die parallel zur optischen Achse laufen ($r_{1}'=0$) und berechnen die Strecke $d_{2}= f$, bei der diese Strahlen nach der Reflektion die optische Achse schneiden ($r_{2}=0$). Dieses ergibt:

$$1 - \frac{2f}{R} = 0 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \to \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; f = \frac{R}{2}.$$ (13)

Die Abbildungsgleichung erhält man ebenso einfach (siehe Skizze oben rechts). Falls $r_{2}$ das Bild von $r_{1}$ ist, so müssen sich alle von $r_{1}$ ausgehenden Strahlen in $r_{2}$ schneiden, unabhängig von der Steigung $r_{1}'$. Daher muß der Koeffizient von $r_{1}'$ in der ersten der beiden Transformationsformeln verschwinden. In diesem Fall ist aber $d_{1}=g$ und $d_{2}=b$:

$$g + b - \frac{2 g b}{R} = 0 \; \; \; \; \; \; \; \to \; \; \; \; \; \; \; \frac{1}{g}+\frac{1}{b} = \frac{2}{R}$$ (14)

Aufgabe 2:
Ein Kugelsegment aus Glas sei auf der gekrümmten Fläche versilbert. Der Radius der Kugel ist $R=20 \; cm$ und das Glas habe den Brechungsindex $n = 1,5$. Die Dicke $d$ des Segmentes sei vernachlässigbar, d.h. $d \approx 0$.

a) Berechnen Sie die Brechkraft für paraxiale Lichtstrahlen, die durch die ebene Fläche in das Glas eintreten, an der gekrümmten Spiegelfläche reflektiert werden und wieder aus dem Glas austreten.
b) Ein Bild sei bei der Gegenstandsweite $g=50 \; cm$ senkrecht zur optischen Achse angeordnet. Wo liegt das Bild auf der optischen Achse ?
Beispiel 3:
Als drittes Beispiel diskutieren wir die Abbildung mit einer Linse. Die Transformationen sind in der folgenden Abbildung skizziert.

Zunächst eine Translation bis zur ersten brechenden Fläche, nach der Brechung eine zweite Translation durch die Linse, eine weitere Brechung an der zweiten Begrenzungsfläche der Linse, sowie schließlich eine Transformation zum Punkt $z_{2}$. Das Linsenmaterial habe den Brechungsindex $n$, die Umgebung sei Luft mit dem Brechungsindex $n_{Luft}=1$. Die Abstände seien $d_{1}$, $d_{2}$ sowie die Dicke der Linse $d$. Die Krümmungsradien seien $R_{1}$ und $R_{2}$. Man beachte aber, daß bei der linken konvexen Fläche $R_{1}$ positiv, bei der rechten konkaven Fläche $R_{2}$ negativ ist. Dann erhalten wir die Transformation

$$\left( \begin{array}{c} r_{2} \\ r_{2}' \end{array} \right) ... ...) \left( \begin{array}{cc} r_{1} \\ r_{1}' \end{array} \right)$$ (15)

Wir wiederholen nochmal, daß wir die Vorzeichen von $R_{1}$ und $R_{2}$ bei der Aufstellung der Transformation bereits angbracht haben, in der weiteren Rechnung sind $R_{1}$ und $R_{2}$ also beide positiv. Die mittleren drei Matrizen beschreiben das Verhalten der Linse, die beiden äußeren Matrizen bilden die Translationen zur vorderen Linsenbegrenzung bzw von der hinteren Linsenbegrenzung zum Endpunkt $z_{2}$. Wir schreiben die Gesamtmatrix daher in der Form

$$M = \left( \begin{array}{cc} 1 & d_{2} \\ 0 & 1 \end{array} ... ...left( \begin{array}{cc} 1 & d_{1} \\ 0 & 1 \end{array} \right)$$ (16)

wobei $M_{L}$ also die Linsenmatrix ist. Mit der Abkürzung $D_{1} = (n-1)/R_{1}$ und $D_{2}= (n-1)/R_{2}$ ist die Linsenmatrix:

$$M_{L} = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -D_{2} & n \end{ar... ... \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -D_{1}/n & 1/n \end{array} \right)$$ (17)

Hierfür ergibt sich nach kurzer Rechnung:

$$M_{L} = \left( \begin{array}{cc} 1 - D_{1} d/n & d/n \\ -D_{1} -D_{2} + D_{1} D_{2} d/n & 1 - D_{2} d/n \end{array} \right)$$ (18)

Wir setzen im folgenden die Elemente der Linsenmatrix gleich

$$M_{L} = \left( \begin{array}{cc} M_{11} & M_{12} \\ M_{21} & M_{22} \end{array} \right)$$ (19)

also ausgeschrieben:

$$M_{11} = 1 - D_{1} d/n$$ (20)

$$M_{12} = d/n$$ (21)

$$M_{21} = -D_{1} - D_{2} + D_{1} D_{2} d/n$$ (22)

$$M_{22} = 1 - D_{2} d/n$$ (23)

Wir müssen noch die Transformationen von den Begrenzungsflächen zu den Punkten $z_{1}$ und $z_{2}$ durchführen, d.h.

$$\left( \begin{array}{c} r_{2} \\ r_{2}' \end{array} \right) ... ... \left( \begin{array}{c} r_{1} \\ r_{1}' \end{array} \right)$$ (24)

Die Lösung ist einfach und ergibt

$$r_{2} = (M_{11}+M_{21} d_{2}) r_{1} + (M_{11} d_{1} + M_{12} +M_{21} d_{1} d_{2} + M_{22} d_{2} ) r_{1}'$$ (25)

$$r_{2}' = M_{21} r_{1} + (M_{21} d_{1} + M_{22}) r_{1}'$$ (26)

Im folgenden wollen wir noch zwei wichtige Folgerungen herausarbeiten. Falls die Strahlen parallel zur optischen Achse in die Linse eintreten, so werden sie nach Definition in den Brennpunkt abgebildet.

Für parallel einfallende Strahlen gilt aber $r_{1}'=0$. Außerdem muß $d_{2}= f$ sein, sofern wir $r_{2}=0$ setzen, d.h.

$$0 = (M_{11} + M_{21} f) \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \to \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; f = - \frac{M_{11}}{M_{21}}.$$ (27)

Für die Brechkraft gilt entsprechend ($D=1/f$):

$$D = -\frac{M_{21}}{M_{11}}.$$ (28)

Setzen wir die Ausdrücke der Matrizelemente ein, so folgt für die allgemeine Linse:

$$D_{L} = - \frac{-D_{1} - D_{2} + D_{1} D_{2} d/n}{1 - D_{1}d/n} = \frac{D_{1}}{1-D_{1}d/n} + D_{2}.$$ (29)

Auch die Abbildungsgleichung kann sehr einfach hergeleitet werden. Wir setzen $d_{1}=g$, $d_{2}=b$ und erhalten

$$r_{2} = (M_{11} + M_{21}b) r_{1} + (M_{11} g + M_{12} + M_{21} g b + M_{22} b) r_{1}'$$ (30)

Alle von $r_{1}$ ausgehenden Strahlen müssen sich in $r_{2}$ schneiden, und zwar unabhängig von der Steigung $r_{1}'$. Daher muß der Koeffizient von $r_{1}'$ verschwinden:

$$M_{11} g + M_{12} + M_{21} g b + M_{22} b = 0$$ (31)

Approximation für dünne Linsen.
Wir wollen zum Schluß die Brechkraft und die Abbildungsgleichung für den Spezialfall der dünnen Linse noch einmal hinschreiben. Bei der dünnen Linse wird die Approximation $d \approx 0$ gemacht. Dann wird die Linsenmatrix extrem einfach,

$$M_{l} = \left( \begin{array}{cc} M_{11} & M_{12} \\ M_{21} &... ...n{array}{cc} 1 & 0 \\ -D_{1} - D_{2} & 1 \end{array} \right).$$ (32)

Die Brechkraft errechnet sich zu

$$D_{l} = D_{1} + D_{2} = (n-1) \left(\frac{1}{R_{1}} + \frac{1} {R_{2}} \right).$$ (33)

Für die Abbildungsgleichung erhalten wir:

$$g + (-D_{1}-D_{2}) g b + b = 0$$ (34)

Mit der Umformung $g+b = (D_{1} + D_{2}) gb$ folgt sofort:

$$\frac{1}{g} + \frac{1}{b} = D_{1}+ D_{2} = (n-1) \left( \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} \right)$$ (35)

Lösungen zu den Rechenübungen am 2. Dezember 1992.
Aufgabe 1:
Transformationsgleichung:

$$\left( \begin{array}{c} r_{2} \\ r_{2}' \end{array} \right) ... ... \left( \begin{array}{c} r_{1} \\ r_{1}' \end{array} \right)$$ (36)

Lösung:

$$r_{2} = r_{1} +(d_{1}+d_{2}) r_{1}'$$ (37)

$$r_{2}' = r_{1}'$$ (38)

Aufgabe 2:
Die allgemeine Transformation besteht aus 7 Matrizen, von denen wir die Translation durch das Linsenmaterial aber sofort vernachlässigen können, da in diesen Schritten ($d=0$) die Translationsmatrizen zu Einheitsmatrizen werden. Es bleibt

$$\left( \begin{array}{c} r_{2} \\ r_{2}' \end{array} \right) ... ... \left( \begin{array}{c} r_{1} \\ r_{1}' \end{array} \right)$$ (39)

mit

$$M = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & n \end{array} \rig... ...left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -2n/R & 1 \end{array} \right)$$ (40)

Die Transformationen lauten also:

$$r_{2} = (1-2 n d_{2}/R) r_{1} + (d_{1}+ d_{2} - 2n d_{1}d_{2}/R) r_{1}'$$ (41)

$$r_{2}' = -(2n/R) r_{1} + (1-2n d_{1}/R) r_{1}'$$ (42)

a) Achsenparallele Strahlen ($r_{1}'=0$) schneiden ($r_{2}=0$) die optische Achse bei $d_{2}= f$. Daher folgt aus der ersten Gleichung:

$$0 = (1 - 2n f/R) r_{1} \; \; \; \; \; \; \; \to \; \; \; \; \; \; \; \underline{D=\frac{1}{f} =\frac{2n}{R}}$$ (43)

b) Wenn $r_{2}$ das Bild von $r_{1}$ sein soll, so müssen alle von $r_{1}$ ausgehenden Strahlen sich in $r_{2}$ schneiden, unabhängig von $r_{1}'$. Daher muß der Koeffizient von $r_{1}'$ in der ersten Transformationsgleichung verschwinden. Für $d_{1}=b$ und $d_{2}=g$ gilt also:

$$b + g - 2n b g/R = 0 \; \; \; \; \; \; \; \to \; \; \; \; \; \; \; \frac{1}{g} + \frac{1}{b} = \frac{2n}{R} = D$$ (44)

Zahlenwerte: $\underline{b = 8 \; cm}$