\documentstyle[12pt,german,epsf,briefkn]{article}
\begin{document}
\briefkopf
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\Large
\centerline{Physik III, WS 1992/93} 
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\centerline{\"Ubungen in der \"Ubungsstunde  am 21. Oktober 1992}
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\bf Aufgabe 1: \rm \newline
Gegeben sei eine Welle der Form $y=y_{0} sin(kx-\omega t)$ mit den
Parametern $y_{0}=2 \; cm, \; k=0,1 \; cm^{-1}$ und $\omega = 5 \; s^{-1}$.
Berechnen Sie die a) Wellenl"ange, b) Frequenz, c) Schwingungsdauer,
d) Phasengeschwindigkeit, e) Amplitude und f) Ausbreitungsrichtung.
Wie sieht die Funktion aus, wenn sich die identische Welle in 
entgegengesetzter Richtung fortplanzt ? \newline
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\bf Aufgabe 2: \rm \newline
Zeigen Sie, da"s $f(x,t) = A_{0} e^{\pm ik(x-ct)}$ L"osungen der 
Wellengleichung sind.
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\bf Aufgabe 3: \rm \newline
Gegeben ist das Wellenpaket zur Zeit $t=0$:
\begin{displaymath}
f(x,0) = \frac{3}{2 x^{2} + 1}.
\end{displaymath}
a) Wie lautet die Gleichung der Welle mit diesem Profil, die sich mit der
Geschwindigkeit $c = 2 \; m \cdot s^{-1}$ in positiver $x$-Richtung 
bewegt ? \newline
b) Zeigen Sie, da"s diese L"osung die Wellengleichung erf"ullt. \newline 
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\bf Aufgabe 4: \rm \newline
Eine harmonische, transversal polarisierte Welle laufe auf einem unendlich
langen Seil in positive $x$-Richtung. \newline
a) Zeigen Sie, da"s ein Seilst"uckchen an der Stelle $x_{0}$ eine
harmonische Schwingung ausf"uhrt. \newline
b) Wann erreicht ein solches Seilst"uckchen seine maximale 
Geschwindigkeit ? \newpage
\bf L"osung zu Aufgabe 1: \rm \newline
a) $\lambda = 2\pi/k = 62,8 \; m$, b) $\nu = \omega/2\pi = 0,8 \; s^{-1}$,
c) $T = 1/\nu = 1,26 \; s$, \newline 
d) $v_{ph} = \nu \lambda = 50 \; m \cdot s^{-1}$, e) $y_{0}=2 \; cm$,
f) $+x$-Richtung. \newline
Entgegengesetze Richtung: $y=y_{0} sin(kx+\omega t)$. \newline
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\bf L"osung zu Aufgabe 2: \rm \newline
Man beachte hierbei die Definition der imagin"aren Einheit $\sqrt{-1}=i$
und $i^{2} = -1$. Keine weitere Anleitung n"otig !
\newline
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\bf L"osung zu Aufgabe 3: \rm \newline
a) 
\begin{displaymath}
f(x,t) = \frac{3}{2(x-ct)^{2} +1}, \; \; \; \; mit \; \; c=2 \; m\cdot s^{-1}
\end{displaymath}
b) Keine Anleitung n"otig ! \newline
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\bf L"osung zu Aufgabe 4: \rm \newline
a) Bei $x=x_{0}=konstant$ k"onnen wir eine harmonische Welle durch
$y(x_{0},t) = A_{0} sin[k(x_{0}-ct)]$ beschreiben. Diese Funktion l"ost die
DGL der harmonischen Schwingung: $m d^{2}y/dt^{2} = - D y$. Zweimalige
Differentation und Koeffizientenvergleich liefert 
$\omega = \sqrt{D/m}$, wobei $m$ die Masse des Seilst"uckchens und
$D$ irgendeine Konstante ist, die die r"ucktreibende Kraft beschreibt. \newline
b) Geschwindigkeit des Seilst"uckchens 
$dy/dt = -kc A_{0} cos[k(x_{0}-ct)]$. Die Maxima dieses Ausdrucks liegen bei
$|cos[k(x_{0}-ct)]|=1$, d.h. $kx_{0}-\omega t = n \pi, \; n=0,1,2,...$,
also an den Stellen, wo die Schwingung $y_(x_{0},t)$ ihren Nulldurchgang
hat (analog Pendel).    
\end{document}