\documentstyle[12pt,german,epsf,briefkn]{article}
\begin{document}
\briefkopf
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\Large
\centerline{Physik III, WS 1992/93} 
\vskip 5mm
\centerline{L\"osungen zur \"Ubung Nr. 8}
\normalsize  
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Besprechung: \bf 13. Januar 1993 \rm \newline
\vskip 5mm
\bf Aufgabe 1: \rm \hspace{10.5cm} (4 Punkte) \newline
Die Brechkraft $D$ einer Linse in einem umgebendem Material mit
Brechungsindex $n_{0}$ ist:
\begin{displaymath}
D = \frac{n-n_{0}}{n_{0}} \left( \frac{1}{R_{a}} - \frac{1}{R_{b}} \right)
\end{displaymath}
F"ur Luft also:
\begin{displaymath}
D_{Luft} = (n-1) \left( \frac{1}{R_{a}} - \frac{1}{R_{b}} \right)
\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \to \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 
\left( \frac{1}{R_{a}} - \frac{1}{R_{b}} \right) = \frac{D_{Luft}}{n-1}
\end{displaymath}
In Wasser gilt also:
\begin{displaymath}
D_{Wasser} = \frac{n-n_{w}}{n_{w}} \left( \frac{1}{R_{a}} 
- \frac{1}{R_{b}} \right) = \frac{(n-n_{w})}{n_{w}} 
\frac{D_{Luft}}{(n-1)}
\end{displaymath}
Zahlenwerte:
\begin{displaymath}
\underline{D_{Wasser} = 1 \; dpt}
\end{displaymath}
\vskip 5mm
\bf Aufgabe 2: \rm \hspace{10.5cm} (5 Punkte) \newline
Ein Strahlenb"undel konvergiert in einem Punkt $P$. Das hei"st mit
anderen Worten, da"s der Punkt $P$ das Bild einer nicht nicht 
n"aher bezeichneten Linse oder eines optischen Systems ist. Dieses
Zwischenbild wird jetzt als Gegenstand mit der Zerstreuungslinse weiter
abgebildet. Schiebt man die Zerstreuungslinse vor dem Punkt $P$ in 
den Strahlengang, ist die Gegenstandsweite $g=-20 \; cm$ negativ, stellt man
die Zertreuungslinse hinter dem Punkt $P$ in den Strahlengang, so 
ist die Gegenstandsweite $g=+20 \; cm$ positiv. Daher
\begin{eqnarray}
a) \; Zerstreuungslinse \; vor \; P: \; \; \; \; \; 
\frac{1}{b} &=& -\frac{1}{|f|} + \frac{1}{|g|} = \frac{1}{60} \; cm^{-1}
\nonumber \\
b) \; Zerstreuungslinse \; hinter \; P: \; \; \; \; \; 
\frac{1}{b} &=& -\frac{1}{|f|} - \frac{1}{|g|} = - \frac{1}{12} \; cm^{-1}
\nonumber 
\end{eqnarray}    
Unser Ergebnis ist also:
\begin{eqnarray}
a) \; Zerstreuungslinse \; vor \; P &:& \; \; \; \; \; 
\underline{b = 60 \; cm} \nonumber \\
b) \; Zerstreuungslinse \; nach \; P &:& \; \; \; \; \; 
\underline{b = -12 \; cm} \nonumber
\end{eqnarray}
Im Fall a) befindet sich Gegenstand und Bild hinter der Linse, im Fall
b) befindet sich Gegenstand und Bild vor der Linse. \newline
\vskip 120mm 
\bf Aufgabe 3: \rm \hspace{10.5cm} (5 Punkte) \newline
In der Vorlesung wurden Vergr"o"serungen einer Lupe bestimmt, wenn
das beobachtende Auge sich einmal im Brennpunkt der Lupe und 
zum anderen direkt vor der Lupe
befindet. In dieser Aufgabe diskutieren wir noch einmal die
Vergr"o"serung, wenn der Abstand des Auges von der Lupe eine
beliebige Entfernung $a$ betr"agt. Die Vergr"o"serung der
Lupe war in der Vorlesung definiert als
\begin{displaymath}
v = \frac{u'}{u} = \frac{Winkel \; \; zum \; \; Gegenstand \;\;  mit 
\; \; Instrument}{Winkel \; \; zum \; \; Gegenstand \; \; ohne \; \; 
Instrument, \; \; aber \; \; in \; \; deulicher \; \; Sehweite}
\end{displaymath}
Die folgende Skizze veranschaulicht noch einmal diese Definition.
\newpage
Wir bezeichnen den Abstand des Auges von der Lupe mit $a=5 \; cm$,
die deutliche Sehweite mit $s=25 \; cm$. Mit den Bezeichnungen der
obigen Abbildung ist dann:
\begin{displaymath}
u = \frac{G}{s} \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; u'=\frac{B}{|b|+a}
\end{displaymath}
und daher (mit $B/G = |b|/g$):
\begin{displaymath}
v = \frac{B s}{G(|b|+a)} = \frac{|b| s}{g(|b|+a)}  \; \; \; \; \;
\; \; \; \; \; \to \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 
\frac{1}{g} = \frac{v(|b|+a)}{|b| s}
\end{displaymath}
Die letzte Formel setzen wir in die Abbildungsgleichung ein:
\begin{displaymath}
\frac{1}{f} = \frac{1}{g} - \frac{1}{|b|} = \frac{v(|b|+a)-s}{|b|s}
\end{displaymath}
Zahlenwerte: 
\begin{displaymath}
\frac{1}{f} = 0,15 \; cm^{-1} \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 
\to \; \; \; \; \; \; \; \; \; \underline{f = 6,67 \; cm}
\end{displaymath}
\underline{Anmerkung zur Definition der Vergr"o"serung} \newline
Die in der Vorlesung angegebene Definition der Vergr"o"serung ist
die allgemein "ubliche. Dennoch wird in einigen B"uchern (z.B.
Bergmann-Sch"afer) die Vergr"o"serung anders definiert, und zwar
als das Verh"altinis der Sehwinkel mit Lupe und ohne Lupe, aber
jeweils bei der gleichen Sehweite $L$, die nicht unbedingt mit
der deutlichen Sehweite "ubereinzustimmen braucht. In diesem Fall
ist die Vergr"o"serung der Lupe identisch mit dem Abbildungsma"sstab
$B/G$. Daher auch
\begin{displaymath}
v=\frac{B}{G} = \frac{|b|}{g} = |b|(\frac{1}{f}+\frac{1}{|b|})
= \frac{|b|}{f} + 1.
\end{displaymath}
Wer diese Definition der Vergr"o"serung benutzt hat, erh"alt
f"ur die Brennweite 
\begin{displaymath}
f= \frac{|b|}{v-1} = \underline{10 \; cm}
\end{displaymath} 
Wir raten allerdings dringend davon ab, diese Definition in einer 
m"oglichen Klausuraufgabe oder in Pr"ufungen zu verwenden
\vskip 5mm
\bf Aufgabe 4: \rm \hspace{10.5cm} (6 Punkte) \newline
In der Vorlesung wurde das Fernrohr f"ur den Fall einer unendlichen 
Gegenstandsweite diskutiert. In diese Aufgabe soll das Fernrohr
bei endlicher Gegenstandsweite diskutiert werden.  
a) Zun"achst berechnen wir die Brechkraft des Objektivs. Wegen
\begin{displaymath}
D_{1} = (n-1) \left( \frac{1}{|R_{a}|} - \frac{1}{|R_{b}|} \right)
\end{displaymath}
ist $D_{1} = 1/20 \; cm^{-1} = 1/0,2 \; m^{-1}= 5  \; dpt$. Die 
Brennweiten sind $f_{1}=20 \; cm$, $f_{2}=-5 \; cm$. 
Mit der in den Rechen"ubungen am 9.12.92 abgeleiteten Newtonsche Form der
Abbildungsgleichung
\begin{equation}
\left[ g- \frac{f_{1}(f_{1}+l)}{l} \right] \left[ b
-\frac{f_{2}(f_{2}+l)}{l} \right] = \left( \frac{f_{1} f_{2}}{l}
\right)^{2}
\end{equation}
folgt nach Multiplikation der Gleichung mit $l^{2}$ und 
Ausmultiplizieren der Klammern:
\begin{displaymath}
l = \frac{(b-f_{2})f_{1}^{2} + (g-f_{1})f_{2}^{2}}
{(g-f_{1})(b-f_{2})}
\end{displaymath}
Die Gegenstandsweite ist $g=50 \; m = 50 \cdot 10^{2} \; cm$. 
Normalerweise sind Fernrohre so konstruiert, da"s sich das Auge 
in der Brennweite des Okulars befindet (siehe Vorlesung). 
Da das Bild in der deutlichen Sehweite von 25 
$cm$ sein soll, mu"s $b=-25 \; cm + |f_{2}|= -20 \; cm$ sein. 
Man k"onnte das Auge aber auch direkt vor das Okular bringen.
In diesem Fall kann $b=-25 \; cm$ gesetzt werden. Wir rechnen im folgenden
beide F"alle durch und unterscheiden die Ergebnisse mit dem Index $f$
(Auge in Brennweite des Okulars) und Index 0 (Auge direkt vor dem
Okular). 
Einsetzen der Zahlenwerte f"uhrt auf
\begin{displaymath}
l_{f} = \frac{(-20+5) 20^{2} + (50\cdot 10^{2} -20) 25}
{(50 \cdot 10^{2} -20)(-20 + 5)} \; \; \; \; \; \; \; \; \to
\; \; \; \; \; \; \; \; l_{f}=-1,59 \;cm
\end{displaymath}
Daher ist der Abstand von Objektiv und Okular: 
$d_{f}=f_{1}+f_{2}+l_{f} = (20 - 5 - 1,59) \; cm$ oder 
$\underline{d_{f}=13.41 \; cm}$ \newline 
Entsprechend gilt f"ur den Fall des Auges direkt vor dem Okular:
$l_{0}=-1,17 \; cm$, $\underline{d_{0}=13,83 \; cm}$.
Der Unterschied ist also klein. 
\newline \vskip 5mm
b) Zur Berechnung des Abbildungsma"sstabs benutzen wir eine der
in den Rechen"ubungen angegebenen Formeln:
\begin{displaymath}
\frac{B}{G} = \frac{l(b-f_{2})-f_{2}^{2}}{f_{1}f_{2}} =
\frac{f_{1} f_{2}}{l(g-f_{1})-f_{1}^{2}}
\end{displaymath}
Zur "Uberpr"ufung der Rechnung ist es empfehlenswert, den 
Abbildungsma"sstab mit beiden Formeln zu berechnen. Einsetzen
der Zahlenwerte:
\begin{displaymath}
\underline{\frac{B_{f}}{G} = 0.012} \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;
\; \; \; \; \; \; \; \; \; \;  
\underline{\frac{B_{0}}{G} = 0.016}
\end{displaymath}
Das Bild ist also etwas weniger als $1 \; mm$
gro"s, also gerade noch in der deutlichen Sehweite sichtbar. Die
Vergr"o"serung ist dagegen (siehe Vorlesung):
\begin{displaymath}
v = \frac{\alpha}{\alpha_{0}} \approx \frac{tg \alpha}{tg \alpha_{0}} =
\frac{B}{G} \frac{(g+d)}{b} = 
200,5 (\frac{B}{G}) \; m
\end{displaymath}
Dieses ergibt Vergr"o"serungen zwischen 2,4 und 3,2, je nachdem wo sich
das Auge befindet. Der Hersteller gibt nat"urlich die Vergr"o"serung 
bei unendlicher Gegenstandsweite an. Diese betr"agt nach Vorlesung
$v = |f_{1}|/|f_{2}| = 4$.        
\end{document}