\documentstyle[12pt,german,epsf,briefkn]{article}
\begin{document}
\briefkopf
\vskip 10mm
\Large
\centerline{Physik III, WS 1992/93} 
\vskip 5mm
\centerline{L\"osungen zur \"Ubung Nr. 7}
\normalsize  
\vskip 10mm
Besprechung: \bf 16. Dezember 1992 \rm \newline
\vskip 5mm
\bf Aufgabe 1: \rm \hspace{10.5cm} (5 Punkte) \newline
Die folgende Skizze zeigt den Strahlenverlauf und die Bezeichnung der
Winkel. \newline
\vskip 50mm
Man entnimmt folgende Zusammenh"ange
\begin{displaymath}
\gamma = \alpha - \beta \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; l = \frac{d}{cos\beta}
\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \Delta x = l \; sin\gamma
\end{displaymath}
Au"serdem gilt das Brechungsgesetz $sin\alpha = n sin\beta$, daher auch
\begin{displaymath}
sin\beta = \frac{1}{n} sin\alpha \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;
cos\beta = \sqrt{1-sin^{2}\beta } = \frac{1}{n} \sqrt{n^{2}-sin^{2}\alpha}
\end{displaymath}  
Hieraus folgt der Reihe nach f"ur die Abweichung $\Delta x$:
\begin{eqnarray}
\Delta x &=& d \; \frac{sin(\alpha-\beta )}{cos\beta } = 
d \; \frac{sin\alpha \; cos\beta - cos\alpha \; sin\beta}{cos\beta}
= d \left (sin\alpha - \frac{cos\alpha \; 
sin\alpha}{\sqrt{n^{2}-sin^{2}\alpha}} \right) \nonumber \\ 
\Delta x &=& d \; sin\alpha \left( 1 - \frac{cos\alpha}{\sqrt{n^{2} 
- sin^{2}\alpha}} \right) \nonumber
\end{eqnarray}
a) Die Abweichung $\Delta x$ ist Null f"ur $\alpha = 0$, d.h. f"ur 
senkrechten Einfall auf die Vorderfl"ache. Der Winkel $\alpha$ geht
von $-45^{o}$ bis $+45^{0}$, wobei das Vorzeichen wechselt, sobald
der Lichtstrahl an der Kante des W"urfels auftritt. 
Die maximale Auslenkung erh"alt man also f"ur $\alpha = \pm 45^{0}$. \newline
Zahlenwerte: 
\begin{displaymath}
\underline{|\Delta x_{max}| = 0,33 \; cm}
\end{displaymath}
b) Zur Diskussion der Strahlauslenkung bei Rotation des W"urfels mit 
konstanter Winkelgeschwindigkeit $\omega$ setzen wir 
$\alpha = \omega t$. Wie oben bereits diskutiert, wechselt die
Ablenkung $\Delta x$ bei $\alpha = \pm 45^{0}$ das Vorzeichen, daher
schreiben wir
\begin{eqnarray}
\Delta x &=& - d \; sin(\omega t) \left( 1 - \frac{cos(\omega t)}
{\sqrt{n^{2} - sin^{2}(\omega t)}} \right) \; \; \; \; \; f"ur \; \; \; \; \; 
-45^{o}< \alpha < 0 \nonumber \\
\Delta x &=& + d \; sin(\omega t) \left( 1 - \frac{cos(\omega t)}
{\sqrt{n^{2} - sin^{2}(\omega t)}} \right) \; \; \; \; \; f"ur \; \; \; \; 
\; 0 < \alpha < +45^{0} \nonumber 
\end{eqnarray}
Die folgende Grafik zeigt diese Funktion. \newline
\vskip 50mm
\bf Aufgabe 2: \rm \hspace{10.5cm} (5 Punkte) \newline
a) In der folgenden Abbildung sind der Einfallswinkel $\theta$, der 
Brechungswinkel $\theta_{f}$ an der Stirnfl"ache der Faser und der
Winkel $\theta_{c}$ der Totalreflektion an der Begrenzungsfl"ache von Faser und
Mantel skizziert. \newline
\vskip 50mm
Der kritische Winkel der Totalreflektion ist
$sin\theta_{c} = n_{c}/n_{f}$. F"ur alle Winkel gr"o"ser als dieser
Winkel erh"alt man zus"atzlich einen gebrochenen Strahl im Punkt $B$.  
Aus der Geometrie ersieht man, da"s 
\begin{displaymath}
\theta_{f} = 90^{o}-\theta_{c} \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \to
\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 
sin\theta_{c} = cos\theta_{f} = \frac{n_{c}}{n_{f}}
\end{displaymath}
und daher
\begin{displaymath}
sin\theta_{f} = \sqrt{1-cos^{2}\theta_{f}} = \sqrt{1-\left( \frac{n_{c}}
{n_{f}} \right)^{2} }.
\end{displaymath}
Einsetzen in das Brechungsgesetz am Punkt $A$ f"uhrt auf
\begin{displaymath}
sin\theta_{max} = n_{f} sin\theta_{f} = n_{f} \sqrt{1 - \left(
\frac{n_{c}}{n_{f}} \right)^{2}} = \sqrt{n_{f}^{2} - n_{c}^{2}}.
\end{displaymath}
Zahlenwerte: 
\begin{displaymath}
sin\theta_{max} = 0,67 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \to
\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \underline{\theta_{max}=42^{o}}.
\end{displaymath}
b) In der folgenden Skizze zeigen wir das Kabel mit einem 
Kr"ummungsradius $R$. Wir definieren den Radius bis zur
Mitte des Kabels. Falls jemand den Radius als Abstand zur inneren
Mantelfl"ache ($R'$, siehe obige Abbildung) oder zur "au"seren Mantelfl"ache 
($R''$) definiert hat, so
"andern sich die Ergebnisse geringf"ugig. \newline
\vskip 80mm
Aus der Geometrie ersieht man, da"s der Winkel am Punkte $B$ nicht
kleiner werden darf als
\begin{displaymath}
sin\theta_{c} = \frac{R-r_{f}}{R+r_{f}} = \frac{n_{c}}{n_{f}}
\end{displaymath}
wobei $r_{f}$ der Radius der Faser ist. Daher:
\begin{displaymath}
n_{c}(R+r_{f})= n_{f}(R-r_{f}) \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;
\to \; \; \; \;  \; \; \; \; \; \; R_{min} = r_{f} \left(
\frac{n_{f}+n_{c}}{n_{f}-n_{c}} \right).
\end{displaymath}
Zahlenwerte:
\begin{displaymath}
\underline{R_{min} = 22,7 \; mm}.
\end{displaymath}
Der Kr"ummungsradius ist bei dieser Aufgabe nicht ganz eindeutig definiert
(siehe oben). Falls man den Radius $R'$ bis zur inneren Mantelfl"ache
als Kr"ummungsradius
genommen hat, so folgt
\begin{displaymath}
R_{min}' = 2 r_{f} \; \frac{n_{c}}{n_{f}-n_{c}} = \underline{21,7 \; mm}   
\end{displaymath}
Wenn umgekehrt der Radius $R''$ bis zur "au"seren Mantelfl"ache als 
Kr"ummungsradius definiert wurde, so gilt:
\begin{displaymath}
R_{min}'' = 2 r_{f} \; \frac{n_{f}}{n_{f}-n_{c}} = \underline{23,7 \; mm}.
\end{displaymath}
\vskip 5mm
\bf Aufgabe 3: \rm \hspace{10.5cm} (4 Punkte) \newline
a) Wir benutzen die Abbildungsgleichung
\begin{displaymath}
\frac{1}{b} + \frac{1}{g} = D = \frac{1}{f} 
\end{displaymath}
Da $D= 10 \; Dioptrien$, ist $f=0,1 \; m = 10 \; cm$. Mit $g=15 \; cm$
folgt 
\begin{displaymath}
\frac{1}{b} = \frac{1}{10}-\frac{1}{15} = \frac{1}{30} \; \; \; \; \; 
\; \; \; \; \; \to \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;
\underline{b = 30 \; cm}.
\end{displaymath}
Nach Vorlesung ist 
\begin{displaymath}
\frac{B}{G} = \frac{b}{g} \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \to
\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \underline{B = 4 \; cm}.
\end{displaymath}
b) Zur Konstruktion des Strahlenganges mu"s man eine Skalierung
der Achsen vornehmen, da die Bild- und Gegenstandsgr"o"sen sehr viel
kleiner als die Bild- und Gegenstandsweiten sind. 
In der folgenden Zeichnung ist die $z-$ Achse
im Verh"altnis $4/10$ gegen"uber der $r-$ Achse gestaucht. 
"Ublicherweise zeichnet man den Strahlengang eines achsenparallelen 
Einfallsstrahls, eines Strahls durch die Mitte der Linse und einen
Strahl durch den vorderen Brennpunkt, der die Linse nach der Brechung
parallel zur optischen Achse verl"a"st. \newline
\newpage
\bf Aufgabe 4: \rm \hspace{10.5cm} (6 Punkte) \newline
\underline{L"osung mit der Matrizen-Optik}. \newline
Wir behandeln diese Aufgabe zun"achst mit der Matrizen- Optik (siehe 
Rechen"ubungen vom 2.12.92) und zeichnen
daher den Strahlengang eines beliebigen Lichtstrahls durch die Linse.
\newline \vskip 50mm
Die Transformationsformel lautet ausf"uhrlich geschrieben:
\begin{equation}
\left( \begin{array}{c} r_{2} \\ r_{2}' \end{array} \right) =
\left( \begin{array}{cc} 1 & d_{2} \\ 0 & 1 \end{array} \right) 
M \left( \begin{array}{cc} 1 & d_{1} \\ 0 & 1 \end{array} \right)
\left( \begin{array}{c} r_{1} \\ r_{1}' \end{array} \right)
\end{equation}
mit der Linsenmatrix
\begin{equation}
M = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -(1-n)/|R_{a}| & n \end{array}
\right) \left( \begin{array}{cc} 1 & d \\ 0 & 1 \end{array} \right)
\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 2/(-|R_{b}|) & 1 \end{array} \right)
\left( \begin{array}{cc} 1 & d \\ 0 & 1 \end{array} \right)
\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -(n-1)/(-n |R_{a}|) & 1/n 
\end{array} \right)
\end{equation}
Da nach Aufgabenstellung $d=0$ gesetzt werden sollte, werden 
die beiden Translationsmatrizen durch die Linse zu Einheitsmatrizen,
k"onnen also weggelassen werden. Wir diskutieren die verbleibenden
Matrizen noch einmal von rechts nach links. Die erste Matrix auf der
rechten Seite beschreibt die Brechung des einfallenden Strahls.
Hier ist $R_{a}$ negativ zu nehmen, da dem Lichtstrahl die Fl"ache
konkav erscheint. Au"serdem ist $n_{1}=1$ und $n_{2}=n$. Die mittlere
Matrix beschreibt die Reflexion am Spiegel. Hier ist $R_{b}$ negativ, da
der Strahl die Fl"ache konkav sieht. Nach der Reflexion kehrt der
Strahl zur"uck zur Begrenzungsfl"ache zwischen Glas und Luft. Hier
ist jetzt aber $R_{a}$ positiv einzusetzen, da der Strahl die 
Begrenzungsfl"ache konvex sieht. Au"serdem ist $n_{2}=1$ und 
$n_{1}=n$. In der obigen Formel haben wir die Vorzeichen bereits
explizit angeschrieben, soda"s in den weiteren Rechnungen 
$R_{a}= |R_{a}|$
und $R_{b}=|R_{b}|$ positiv sind. Mit den Abk"urzungen
\begin{displaymath}
D_{a} = \frac{n-1}{R_{a}} \; \; \; \; \; \; \; \; \; 
D_{b} = \frac{2}{R_{b}}
\end{displaymath}
k"onnen wir die Linsenmatrix schreiben als
\begin{equation}
M = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ D_{a} & n \end{array} \right)
\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -D_{b} & 1 \end{array} \right)
\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ D_{a}/n & 1/n \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 2D_{a}-nD_{b} & 1 \end{array} \right)
\end{equation}
Die Elemente der Matrix $M$ sind also
\begin{displaymath}
M_{11}=1 \; \; \; \; \; \; \; M_{12}=0 \; \; \; \; \; \; \; 
M_{21}=2D_{a}-nD_{b} \; \; \; \; \; \; \; M_{22}=1
\end{displaymath}
Die weitere Auswertung der Transformation liefert
\begin{eqnarray}
r_{2} &=& [1+(2D_{a}-nD_{b})d_{2}] r_{1} +[d_{1}+d_{2} +(2D_{a}-nD_{b})d_{1}
d_{2}] r_{1}' \nonumber \\
r_{2}' &=& [2D_{a} - nD_{b}] r_{1} + [1+ (2D_{a}-nD_{b})d_{1}] r_{1}'
\nonumber 
\end{eqnarray}
a) Achsenparallele Strahlen ($r_{1}'=0$) schneiden nach der Brechung
($r_{2}=0$) die optische Achse im Abstand $f=d_{2}$ von der Linse,
wobei $f$ die Brennweite ist. Daher folgt aus der ersten
Transformationsformel:
\begin{displaymath}
0 = [1 + (2D_{a} - nD_{b}) f] r_{1} \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \to
\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; D=\frac{1}{f} = nD_{b}-2D_{a}
\end{displaymath}
oder auch, nach Einsetzen der Abk"urzungen:
\begin{displaymath}
\underline{D = \frac{2n}{R_{b}} - \frac{2(n-1)}{R_{a}}} 
\end{displaymath}
b) Eine Lichtquelle im Punkt $M_{a}$  auf der optischen Achse
hat den Abstand $d_{1}=R_{a}$ von der Linsenbegrenzung. Au"serdem
ist $r_{1}=0$. Alle Strahlen von diesem Punkt sollen nach Brechung
und Reflektion die Steigung $r_{2}'=0$ haben. Wir setzen dieses in 
die zweite Transformationsformel ein und erhalten
\begin{displaymath}
0 = [1 + (2D_{a}-nD_{b}]R_{a}] r_{1}' 
\end{displaymath}
Einsetzen der Ausdr"ucke f"ur $D_{a}$ und $D_{b}$ ergibt:
\begin{displaymath}
\left( \frac{2(n-1)}{R_{a}} - \frac{2n}{R_{b}} \right) R_{a} +1 =0
\; \; \; \; \; \; \; \to \; \; \; \; \; \; \; 
\underline{\frac{R_{b}}{R_{a}} = \frac{2n}{2n-1}}
\end{displaymath}
\underline{L"osung mit zentrierten Systemen} \newline
a) Man kann dieses Problem auch mit dem Satz behandeln, der aussagt,
da"s sich bei zentrierten optischen Systemen die Brechkr"afte
einfach addieren. Allerdings mu"s man sorgf"altig auf die Vorzeichen
der Kr"ummungsradien achten.
Wir entfernen den Spiegel gedanklich von der Linsenoberfl"ache:
\newline \vskip 40mm
Der Lichtstrahl sieht beim Hinweg eine Linse mit zwei konkaven
Bregenzungsfl"achen und der Brechkraft:
\begin{displaymath}
D_{1} = (n-1) \left( - \frac{1}{|R_{a}|} + \frac{1}{|R_{b}|} \right)
\end{displaymath}
wobei wir die Vorzeichenkonventionen bereits angebracht haben.
Beim R"uckweg dagegen sieht das Licht eine Linse mit zwei konvexen
Begrenzungsfl"achen und der Brechkraft:
\begin{displaymath}
D_{3} = (n-1)  \left( \frac{1}{|R_{b}|} - \frac{1}{|R_{a}|} \right)
\end{displaymath}
(siehe auch Vorzeichenkonvention der Rechen"ubungen vom 9.12.92,
Seite 4). Der Spiegel hat eine Brechkraft von $D_{2} = 2/|R_{b}|$.
Insgesamt erhalten wir 
\begin{displaymath}
D = D_{1}+D_{2}+D_{3} = - \frac{2(n-1)}{|R_{a}|} 
+ \frac{2(n-1)}{|R_{b}|} + \frac{2}{|R_{b}|} = 
\underline{\frac{2n}{|R_{b}|} - \frac{2(n-1)}{|R_{a}|}}
\end{displaymath}
b) Setzen wir in der Abbildungsgleichung
\begin{displaymath}
\frac{1}{g} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f} = D
\end{displaymath}
$g=|R_{a}|$ und $b \to \infty$, so folgt das gleiche Ergebnis  
wie oben f"ur das Verh"altnis der Radien. \newline
\vskip 5mm
\underline{Die allgemeine L"osung} \newline
Die allgemeine L"osung f"ur nichtverschwindende Dicke $d$ der Linse
ist ohne die Methoden der Matrizen- Optik kaum l"osbar. F"ur den
interessierten Leser skizzieren wir kurz noch einmal den
L"osungsweg. Bei der Linsenmatrix m"ussen wir zwei Translationen
einschieben:
\begin{equation}
M = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ D_{a} & n \end{array} \right)
\left( \begin{array}{cc} 1 & d \\ 0 & 1 \end{array} \right)
\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -D_{b} & 1 \end{array} \right)
\left( \begin{array}{cc} 1 & d \\ 0 & 1 \end{array} \right)
\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ D_{a}/n & 1/n \end{array} \right)
\end{equation}
Stures Ausmultiplizieren der Matrizen f"uhrt auf
\begin{equation}
M  = \left( \begin{array}{cc} M_{11} & M_{12} \\ M_{21} & M_{22} 
\end{array} \right)
\end{equation}
mit 
\begin{eqnarray}
M_{11} &=& 1 + 2dD_{a}/n - d D_{b} - d^{2} D_{a} D_{b}/n =M_{22}
\nonumber \\
M_{12} &=& 2d/n - d^{2} D_{b}/n \nonumber \\
M_{21} &=& 2 D_{a} - nD_{b} - 2dD_{a} D_{b} + 2 d D_{a}^{2}/n
- d^{2} D_{a}^{2} D_{b}/n = D_{a} -nD_{b} - dD_{a}D_{b} 
+ D_{a} M_{22} \nonumber \\
M_{22} &=& 1 - d D_{b} + 2d D_{a}/n - d^{2} D_{a} D_{b}/n 
=  M_{11} \nonumber
\end{eqnarray}
Ersichtlich geht f"ur $d = 0$ diese Linsenmatrix in die Matrix
f"ur d"unne Linsen "uber. 
Die Gesamtabbildung lautet dann (siehe Rechen"ubungen):
\begin{eqnarray}
r_{2} &=& [M_{11} + M_{21} d_{2}] r_{1} + [M_{11} d_{1} + M_{12} 
+M_{21} d_{1} d_{2} + M_{22} d_{2} ] r_{1}' \nonumber \\
r_{2}' &=& M_{21} r_{1} + [M_{21} d_{1} + M_{22} ] r_{1}' \nonumber
\end{eqnarray}
Die Brechkraft ist allgemein $D=-M_{21}/M_{11}$ (siehe Rechen"ubungen).
Wir verzichten hier darauf, den allgemeinen Ausdruck explizit
hinzuschreiben. Falls man allerdings die Glieder mit $d^{2}$ 
vernachl"assigt, erh"alt man einen Ausdruck in erster Ordnung 
f"ur $d$. Setzen wir als Abk"urzung $D_{0}=nD_{b}-2D_{a}$, so ist 
\begin{equation}
D \approx \frac{D_{0} + (d/n) (D_{0} + nD_{b})D_{a} }
{1- (d/n) D_{0}}
\end{equation}
Diese Formel geht f"ur $d=0$ in $D_{0}$, die Brechkraft f"ur die 
d"unne Linse, "uber. 
F"ur praktische Anwendungen ist jedoch die Frage
von Teil b) au"serordentlich wichtig, dient diese Spiegellinse
doch als Strahler. Wir setzen $r_{1}=0$, $d_{1}=R_{a}$ und 
$r_{2}'=0$, dann erhalten wir
\begin{displaymath}
M_{21} R_{a} + M_{22} = 0
\end{displaymath}
Einsetzen der Ausdr"ucke f"ur $D_{a}$ und $D_{b}$ in die Matrixelemente 
$M_{21}$ und $M_{22}$ liefert dann nach einer etwas m"uhsamen Rechnung
\begin{displaymath}
R_{b} = \frac{2n R_{a}^{2} + 2(2n-1) d R_{a} + 2(n-1) d^{2}} 
{(2n-1) R_{a} + 2(n-1) d}
\end{displaymath}
Dieser Ausdruck ist f"ur $d=0$ offensichtlich identisch mit unser
speziellen L"osung (siehe oben). Diese Formel ist im 
Bergmann-Sch"afer Band III (Optik), 8.Auflage, Seite 115,
angegeben.  

\end{document}