\documentstyle[12pt,german,epsf,briefkn]{article}
\begin{document}
\briefkopf
\vskip 10mm
\Large
\centerline{Physik III, WS 1992/93} 
\vskip 5mm
\centerline{L\"osungen zur \"Ubung Nr. 5}
\normalsize  
\vskip 10mm
Besprechung: \bf 2. Dezember 1992 \rm \newline
\vskip 5mm
\bf Aufgabe 1: \rm \hspace{10.5cm} (5 Punkte) \newline
a) Die Welle $\vec{E}_{1}$ ist linear polarisiert, denn
$\vec{E}_{1} = E_{0} (\vec{e}_{x} - \vec{e}_{y}) sin(kz-\omega t)$.
$\vec{E}_{2}$ ist zirkular polarisiert, da 
\begin{displaymath}
\vec{E}_{2} \cdot \vec{E}_{2} = E^{2}_{2,x} + E^{2}_{2,y}
= E_{0}^{2} [sin^{2} (kz-\omega t) + cos^{2}(kz-\omega t) ]  = E_{0}^{2},
\end{displaymath}
d.h. der Betrag des $\vec{E}_{2}$- Feldes ver"andert sich nicht mit
der Zeit. Den Umlaufsinn ersieht man am einfachsten, indem man den
Vektor an der Stelle $z=0$ f"ur die Zeiten 
$0, \; T/4, \; T/2,\;3T/4$ und $T$ berechnet. Es ist
\begin{eqnarray}
\vec{E}_{2}(0,0) &=& E_{0} (sin(0), -cos(0),0) = -\vec{e}_{y} E_{0}
\nonumber \\
\vec{E}_{2}(0,T/4) &=& E_{0} (sin(-\pi/2),-cos(-\pi/2), 0) =
- \vec{e}_{x} E_{0} \nonumber \\
\vec{E}_{2}(0,T/2) &=& E_{0} (sin(-\pi),-cos(-\pi),0) = 
+ \vec{e}_{y} E_{0} \nonumber \\
\vec{E}_{2}(0,3T/4) &=& E_{0} (sin(-3\pi/2),-cos(-3\pi/2),0) =
+ \vec{e}_{x} E_{0} \nonumber \\
\vec{E}_{2}(0,T) &=& E_{0} (sin(-2\pi), -cos(-2\pi),0) =
- \vec{e}_{y} E_{0} \nonumber
\end{eqnarray}
Wie man der folgenden Skizze ansieht, handelt es sich um eine 
zirkulare rechtspolarisierte Welle. \newline
\vskip 30mm
b) Nach Vorlesung und den "Ubungsstunden vom 11.11.92 
kann man die Maxwellsche Gleichung
$rot \vec{E} = -\partial \vec{B}/\partial t$ komponentenweise
folgenderma"sen schreiben:
\begin{equation}
\frac{\partial E_{z}}{\partial y} - \frac{\partial E_{y}}{\partial z}
= -\frac{\partial B_{x}}{\partial t}, \; \; \; \; \; \; \; \; 
\frac{\partial E_{x}}{\partial z} - \frac{\partial E_{z}}{\partial x}
= -\frac{\partial B_{y}}{\partial t}, \; \; \; \; \; \; \; \; 
\frac{\partial E_{y}}{\partial x} - \frac{\partial E_{x}}{\partial y}
= -\frac{\partial B_{z}}{\partial t} \nonumber
\end{equation}
Dieses ergibt f"ur $\vec{E}_{1}$ die beiden Gleichungen
\begin{eqnarray}
- \frac{\partial E_{1,y}}{\partial z} &=& E_{0} k \; cos(kz-\omega t) =
- \frac{\partial B_{1,x}}{\partial t} \nonumber \\
\frac{\partial E_{1,x}}{\partial z}  &=& E_{0} k \; cos(kz-\omega t) =
- \frac{\partial B_{1,y}}{\partial t} \nonumber 
\end{eqnarray}
mit der L"osung ($c = \omega /k)$:
\begin{displaymath}
\vec{B}_{1} = \frac{E_{0}}{c} (sin(kz-\omega t),sin(kz-\omega t),0)
\end{displaymath}
Entsprechend erhalten wir f"ur $\vec{B}_{2}$:
\begin{displaymath}
\vec{B}_{2} = \frac{E_{0}}{c} (cos(kz-\omega t),sin(kz-\omega t),0)
\end{displaymath}
\vskip 5mm
\bf Aufgabe 2: \rm \hspace{10.5cm} (5 Punkte) \newline
a) Stromdichte und elektrische Feldst"arke sind durch
\begin{displaymath}
j = \frac{I}{\pi R^{2}}, \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 
E = \rho j = \frac{\rho I}{\pi R^{2}} 
\end{displaymath} 
gegeben. Wir w"ahlen die $z$-Achse als Stromrichtung, dann ist 
in zylindrischen Koordinaten das $\vec{H}$- Feld in positiver
$\phi$- Richtung gegeben und an der Oberfl"ache des Leiters ($r=R$)
betragsm"a"sig gleich $ H_{\phi} = I/(2 \pi R)$ (siehe Physik II).
\vskip 50mm
Der Poynting- Vektor ist auf der Oberfl"ache des
Leiters 
\begin{displaymath}
\vec{S} = \vec{E} \times \vec{H} = E_{z} H_{\phi} \vec{e}_{z}
\times \vec{e}_{\phi} = - E_{z} H_{\phi} \vec{e}_{r},
\end{displaymath}
also normal auf der Leiteroberfl"ache in den Leiter hineingerichtet.
Betragsm"a"sig ist:
\begin{displaymath}
S_{r} = - \frac{\rho I^{2}}{2 \pi^{2} R^{3}}.
\end{displaymath}
\vskip 5mm
a) Die W"armeleistung des Stromes kann geschrieben werden als:
\begin{displaymath}
\frac{dW}{dt} = \int_{V} \vec{j} \vec{E} dV =
\int j E \; dV =  
\frac{\rho I^{2} L}{\pi R^{2}},
\end{displaymath}  
wobei wir die Integration "uber das Volumen eines Leiterelementes
der L"ange $L$
erstreckt haben. Die Integration des Poynting- Vektors "uber die
Oberfl"ache (Mantelfl"ache) des Leiters mit der L"ange $L$ ist entsprechend:
\begin{displaymath}
\int \vec{S} d \vec{A} = - S_{r} 2 \pi R L = - \frac{\rho 
I^{2} L}{\pi R^{2}},
\end{displaymath}
was offensichtlich mit dem vorherigen Ausdruck betragm"a"sig
identisch ist. \newline
Zahlenwerte: F"ur die W"armeleistung folgt pro Meter:
$dW/dt \approx 50 mW = 1,2 \cdot 10^{-5} \; kcal \; s^{-1}$. 
\vskip 5mm
c) Die allgemeine Interpretation dieses Beispiel ist wie folgt:
Auf Grund des Poyntingschen Satzes kann die in Form von W"arme dem
elektromagnetischen Feld entzogene Energie nur durch eine einlaufende 
Strahlung kompensiert werden. Diese Energiestrahlung erfolgt auf
Grund unseres Ergebnisses radial in den Leiter hinein. Der metallische
Leiter ist hiernach nur in bezug auf den elektrischen Strom als Leiter
anzusehen. F"ur die Energie ist der Kupferstab dagegen ein nichtleitendes
Medium. Diese wird "uber das den Zylinder umgebene Vakuum in Form
von Strahlung zugef"uhrt. Das Vakuum stellt bez"uglich der Energie
einen Leiter, bez"uglich des elektrischen Stromes dagegen einen
Nichtleiter dar. Alles klar ?? \newline   
\vskip 5mm
\bf Aufgabe 3: \rm \hspace{10.2cm} (10 Punkte) \newline
a) \underline{Wellenkette I}. \newline
Nach den Kirchhoffschen Regeln gilt in einem Glied der Kette f"ur
die Spannungen: \newline
\vskip 25mm
\begin{displaymath}
L \frac{dI_{n}}{dt} = - \frac{Q_{n}}{C} + \frac{Q_{n+1}}{C}.
\end{displaymath}
Nochmals nach der Zeit abgeleitet, ergibt die DGL f"ur die Str"ome:
\begin{displaymath}
CL \frac{d^{2}I_{n}}{dt^{2}} = - I_{n}' + I_{n+1}'.
\end{displaymath}
Wegen $I_{n}'= I_{n}-I_{n-1}$ und $I_{n+1}' = - I_{n} + I_{n+1}$ folgt
\begin{displaymath}
CL \frac{d^{2} I_{n}}{ dt^{2}} = I_{n+1} + I_{n-1} - 2I_{n}.
\end{displaymath}
Der Strom $I_{n}$ in einem Glied der Kette ist also gekoppelt mit 
den Str"omem $I_{n-1}$ und $I_{n+1}$ des vorhergehenden und 
nachfolgenden Gliedes. Dieses ist v"ollig equivalent zum System
der durch Federn gekoppelten Massen (siehe Aufgabe 1.4). Als 
L"osungsansatz war in der Aufgabenstellung eine harmonische Welle
vorgeschlagen. Dieser Ansatz ist nicht so speziell, wie er auf den
ersten Blick aussehen mag, kann man doch jede periodische Funktion
durch eine Summe von harmonischen Wellen darstellen (Fourier- Analyse).
Da die obige Gleichung linear ist, kann jede allgemeine periodische 
Funktion als L"osung aus den harmonischen Wellen aufgebaut werden. 
Im "ubrigen darf die Phasengeschwindigkeit nat"urlich nicht von der
Form der Welle abh"angen. \newline
Mit dem L"osungsansatz $I_{n} = I_{0} e^{i(kna-\omega t)}$ erhalten wir
\begin{displaymath}
-CL I_{0} \omega^{2} e^{ikna} e^{-i\omega t} = 
I_{0} ( e^{ik(n+1)a} + e^{ik(n-1)a} - 2 e^{ikna}) e^{-i\omega t}.
\end{displaymath}
Nach Division durch $I_{0} e^{ikna} e^{-i\omega t}$ verbleibt:
\begin{displaymath}
-CL \omega^{2} = e^{ika}+e^{-ika} -2 = 2 cos(ka) -2 = 
- 4 sin^{2}(\frac{ka}{2}).
\end{displaymath}
Wir bezeichnen die Frequenz der Wellenkette I mit $\omega_{I}$ und
die Phasengeschwindigkeit mit $c_{I}$:
\begin{displaymath}
\omega_{I} = \frac{2}{\sqrt{CL}} sin(\frac{ka}{2}) \; \; \; \; \; 
\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; c_{I} = \frac{\omega_{I}}{k} = \frac{2}{\sqrt{CL}}
\frac{sin(ka/2)}{k}.
\end{displaymath}
In diesem Zusammenhang bemerken wir, da"s f"ur $ka/2 \ll 1$ die
Phasengeschwindigkeit des kontinuierlichen Wellenleiters 
(siehe Vorlesung Seite 95) herauskommt:
\begin{displaymath}
c_{I,a \ll \lambda} \approx \frac{a}{\sqrt{LC}} = 
\frac{1}{\sqrt{(L/a)(C/a)}}.
\end{displaymath}
$L/a$ und $C/a$ bezeichnet man auch als lineare 
Induktivit"atsbelegung und lineare Kapazit"atsbelegung. \newline
\vskip 5mm
\underline{Wellenkette II}. \newline
\vskip 25mm
Die Spannung am $n$-ten Kondensator ist $U_{n} = -(1/C) \int I_{n} dt$.
Die Bilanz der Spannungen im $n$-ten Glied ist damit
\begin{displaymath}
U_{n} = -\frac{1}{C} \int I_{n} dt = L \frac{dI_{n}'}{dt} 
- L \frac{dI_{n+1}'}{dt}.
\end{displaymath}
Ein zweites Mal differenziert, ergibt die DGL:
\begin{displaymath}
- \frac{1}{CL} I_{n} = \frac{d^{2}I_{n}'}{dt^{2}} 
- \frac{d^{2} I_{n+1}'}{dt^{2}} = \frac{d^{2}}{dt^{2}} 
(I_{n}' - I_{n+1}').
\end{displaymath}
Wegen $I_{n}'= I_{n}-I_{n-1}$ und $I_{n+1}'= -I_{n} + I_{n+1}$ folgt:
\begin{displaymath}
I_{n} = CL \frac{d^{2}}{dt^{2}} ( I_{n+1} + I_{n-1} - 2I_{n}).
\end{displaymath}
Wir verwenden wiederum den Ansatz $I_{n} = I_{0} e^{i(kna-\omega t)}$.
Mit einer "ahnlichen Rechnung wie bei der Wellenkette I ergibt sich dann:
\begin{displaymath}
\omega_{II} = \frac{1}{2\sqrt{CL}} \; \frac{1}{ sin(ka/2)}
\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 
c_{II} = \frac{\omega_{II}}{k} = \frac{1}{2\sqrt{CL}} \;
\frac{1}{k \; sin(ka/2)}.
\end{displaymath}
Hierbei haben wir die Frequenz und die Phasengeschwindigkeit der 
Wellenkette II mit $\omega_{II}$ und $c_{II}$ bezeichnet. \newline
\vskip 5mm
b) Beide Wellenketten besitzen Grenzfrequenzen, au"serhalb derer
die Wellen ged"ampft werden. Diesen Sachverhalt erkennt man 
folgenderma"sen: Falls
\begin{displaymath}
\omega_{I} > \frac{2}{\sqrt{CL}} \; \; \; \; \; oder \; \; \; \; \; 
\omega_{II} < \frac{1}{2 \sqrt{CL}},
\end{displaymath}
so mu"s $sin(ka/2) = p > 1$ sein. Wie in der Anmerkung zur Aufgabe
erw"ahnt, ist $ka/2$ dann aber eine komplexe Zahl: $ka/2 = \pi/2 + i\beta$
oder $ka = \pi +i 2\beta$. Setzen wir diese L"osung in die harmonischen
Wellen f"ur die Str"ome ein, so gilt
\begin{displaymath}
I_{n} = I_{0} e^{i(n \pi + i 2n \beta - \omega t)} =
I_{0} (-1)^{n+1} e^{-2 n \beta} e^{-i\omega t},
\end{displaymath}
oder, falls wir den Realteil herausprojizieren:
\begin{displaymath}
I_{n} = I_{0} (-1)^{n+1} e^{- 2 n \beta} cos(\omega t).
\end{displaymath}
Die Amplitude nimmt also mit wachsendem $n$ schnell ab. Die 
Frequenzbereiche, bei denen sich die Wellen unged"ampft fortpflanzen
k"onnen, sind daher:
\begin{eqnarray}
Wellenkette \; I: \; \; \; \; \; \omega_{I} &\leq& 
\frac{2}{\sqrt{CL}} \nonumber \\  
Wellenkette \; II: \; \; \; \;   \omega_{II} &\geq& 
\frac{1}{2\sqrt{CL}}. \nonumber
\end{eqnarray}
Man bezeichnet diese Wellenketten daher auch als Hochpa"sfilter bzw
Tiefpa"sfilter. \newline
\vskip 5mm
c) Die expliziten Ausdr"ucke f"ur die Str"ome im ged"ampften Bereich
erh"alt man mit der angegeben Formel $\beta = ln(p+\sqrt{p^{2}-1})$:
\begin{displaymath}
e^{-2n\beta} = (e^{-\beta})^{2n} = \frac{1}{(e^{\beta})^{2n}}
= \frac{1}{(p+\sqrt{p^{2}-1})^{2n}}.
\end{displaymath}
Mit $p=(\omega_{I}/2) \sqrt{CL}$ (Wellenkette I) und 
$p=1/(2 \omega _{II} \sqrt{CL})$ (Wellenkette II) erhalten wir
die Str"ome:
\begin{eqnarray}
Wellenkette \; I: \; \; \; \; \; 
I_{n} &=& \frac{(-1)^{n+1} I_{0} }
{ \left( \sqrt{CL} \omega_{I}/2 + \sqrt{CL \omega_{I}^{2}/4 -1}
\right)^{2n} } \; cos(\omega t) \nonumber \\
Wellenkette \; II: \; \; \; \; \; 
I_{n} &=& \frac{(-1)^{n+1} I_{0} }
{ \left( 1/(2 \omega _{II} \sqrt{CL}) + \sqrt{ 1/(4 \omega_{II}^{2}
CL) - 1} \right)^{2n} } \; cos(\omega t) \nonumber
\end{eqnarray} 
\end{document}