Übung am Donnerstag, d. 27. Oktober 2005

Taylorentwicklung einer Funktion
Wir hatten in der ersten Übungsstunde die Formel

\begin{displaymath} f(x+h) - f(x) = h f'(x) + h \epsilon(h) \end{displaymath}

wobei $\lim_{h \to 0} \epsilon(h) = 0$ sein muss. Man kann also den Funktionswert an der Stelle $x+h$ näherungsweise berechnen, wenn man den Funktionswert und die Ableitung an der Stelle $x$ kennt:

\begin{displaymath} f(x+h) = f(x) + h f'(x) + h \epsilon(h). \end{displaymath}

Diese Formel kann verallgemeinert werden zur sogenannten Taylorentwicklung:

\begin{displaymath} f(x+h) = f(x) + \frac{h}{1!} f'(x) + \frac{h^{2}}{2!} f''(x) + \frac{h^{3}}{3!} f'''(x) + .......... \end{displaymath}

Man kann also den Funktionswert an der Stelle $x+h$ (exakt), wenn man alle Ableitungen kennt ($f''(x)$ ist die zweifache Ableitung, $f'''(x)$ die dreifache Ableitung). In der Physik ist insbesondere der Fall $x=0$ wichtig.

\begin{displaymath} f(h) = f(0) + \frac{h}{1!} f'(0) + \frac{h^{2}}{2!} f''(0) + \frac{h^{3}}{3!} f'''(0) + .......... \end{displaymath}

Für $h$ setzt man jetzt gerne wieder $x$ ein, daher schreibt man auch

\begin{displaymath} f(x) = f(0) + \frac{x}{1!} f'(0) + \frac{x^{2}}{2!} f''(0) + \frac{x^{3}}{3!} f'''(0) + ....... \end{displaymath}

Ein einfaches (aber häufig vorkommendes) Beispiel ist $f(x) = \sqrt{1 + x}$. Die Ableitungen sind:
$\displaystyle f'(x)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2 \sqrt{1+x}} \; \; \; \; \; \to \; \; \; \; \; f'(0) = \frac{1}{2}$  
$\displaystyle f''(x)$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \frac{1}{4 \sqrt{(1+x)^{3}}} \; \; \; \; \; \to \; \; \; \; \; f''(0) = - \frac{1}{4}$  

Wir können also näherungsweise schreiben (beachte: $1! = 1$, $2! = 2$, allgemein $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ....\cdot n$)

\begin{displaymath} \sqrt{1+x} \approx 1 + \frac{x}{1} \cdot \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{4} + ............ \end{displaymath}

oder, anders geschrieben:

\begin{displaymath} \sqrt{1+x} \approx 1 + \frac{1}{2} x - \frac{1}{8} x^{2} + ........ \end{displaymath}

In der folgenden Tabelle haben wir noch einmal die wichtigsten Funktionen der Physik mit ihren ersten Entwicklungskoeffizienten aufgeführt. Diese Formeln gelten aber nur, solange $x \ll 1$ ist.
$\displaystyle sin(x)$ $\textstyle \approx$ $\displaystyle x$  
$\displaystyle cos(x)$ $\textstyle \approx$ $\displaystyle 1 - \frac{1}{2} x^{2}$  
$\displaystyle tan(x)$ $\textstyle \approx$ $\displaystyle x$  
$\displaystyle \sqrt{1 + x}$ $\textstyle \approx$ $\displaystyle 1 + \frac{1}{2} x$  
$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+x}}$ $\textstyle \approx$ $\displaystyle 1 - \frac{1}{2} x$  
$\displaystyle e^{x}$ $\textstyle \approx$ $\displaystyle 1 + x$  
$\displaystyle ln(1+x)$ $\textstyle \approx$ $\displaystyle x$  



Harm Fesefeldt
2005-10-28