Lösungen zur Übung Nr.10

Besprechung: Donnerstag, d. 12. Januar 2006

Aufgabe 1:
Im ersten Fall muß die gesamte Wassermnge $m$ auf die Höhe $H$ gebracht werden. Energieerhaltung verlangt hier einfach $E_{a} = m g H$. Im zweiten Fall beträgt die Energie zum Anheben der Wasseroberfläche um den Betrag $dz$:

$$dE_{b} = F \; dz = p A \; dz = \rho g z A \; dz.$$

Hierbei ist $A$ Bodenfläche des Tanks, $\rho$ die Dichte des Wassers und $z$ die Höhe des Wasserspiegels. Die Integration liefert

$$E_{b} = \int_{0}^{H} d E_{b} = \rho g A \int_{0}^{H} z \; dz = \rho g A \frac{H^{2}}{2} = \frac{1}{2} m g H.$$

Also ist $E_{b} = E_{a}/2$, man benötigt im zweiten Fall also nur halb so viel Energie. Dieses Ergebnis ist plausibel, da die potentielle Energie im ersten Fall beim Herunterfallen des Wassers verloren geht b.z.w. in Wärme verwandelt wird.
Aufgabe 2:
a) Wir wenden die allgemeine Bernoulli- Gleichung an:

$$p_{1} + \frac{1}{2} \rho v_{1}^{2} + \rho g h_{1} = p_{2} + \frac{1}{2} \rho v_{2}^{2} + \rho g h_{2}.$$

Auf unsrere Aufgabe angewendet, folgt:

$$p_{0} + \frac{1}{2} \rho v_{0}^{2} + \rho g z = p_{0} + \frac{1}{2} \rho v^{2}$$

Hierbei ist $p_{0}$ der äußere Luftdruck, der oben und unten am Gefäß derselbe ist, $v_{0}$ ist die Senkgeschwindigkeit der Wasseroberfläche, $z$ die Höhe der Wasseroberfläche über der unteren Öffnung. Daraus erhalten wir eine Beziehung zwischen $v$, $v_{0}$ und $z$:

$$v_{0}^{2} + 2 g z = v^{2}.$$

Eine zweite Beziehung zwischen $v_{0}$, $v$ und dem Radius $r$ der kreisförmigen Wasserobefläche erhalten wir aus der Kontinuitätsgleichung

$$v A = \pi r^{2} v_{0}$$

Dann können wir die Geschwindigkeit $v$ durch $v_{0}$ ausdrücken,

$$v^{2} = \frac{\pi^{2} r^{4}}{A^{2}} v_{0}^{2}$$

und in die erste Gleichung einsetzen:

$$v_{0}^{2} + 2 g z = \frac{\pi^{2} r^{4}}{A^{2}} v_{0}^{2}.$$

Wir bringen $v_{0}^{2}$ auf die linke Seite und alles andere auf die rechte Seite:

$$v_{0}^{2} = \frac{2 g A^{2} z}{\pi^{2} r^{4} - A^{2}}.$$

Nach Aufgabenstellung sollte $v_{0}$ konstant sein, darf also nicht von $z$ oder $r$ abhängen. Das kann nur erfüllt werden, wenn

$$z = z(r) = a (\pi^{2} r^{4} - A^{2} )$$

gilt, mit einer Proportionalitätskonstanten $a$. Dann gilt nämlich

$$v_{0}^{2} = 2 g a A^{2} = konstant.$$

b) Jetzt ist $v_{0} = dz/dt = 0,1 \; mm/s$, damit können wir die Konstante $a$ bestimmen.

$$a = \frac{v_{0}^{2}}{2 g A^{2}}$$

Damit die Uhr eine Stunde laufen kann, muß die Anfangshöhe der Wasseroberfläche $H = v_{0} T$ mit $T = 1 \; h = 3600 \; s$ sein, d.h. $H = 0,36 m$. Wir gehen zurück auf unsere obige Ausgangsformel und schreiben den Radius $r$ als Funktion von $z$:

$$r^{4} = \frac{A^{2}}{\pi^{2}} \left( 1 + \frac{2 g z}{v_{0}^{2}} \right)$$

und setzen $r = R$ sowie $z = H$. Dieses ergibt

$$R = \sqrt{\frac{A}{\pi}} \left( 1 + \frac{2 g H}{v_{0}^{2}} \right)^{1/4} \approx 10 \; cm$$

Aufgabe 3:
Wir betrachten die Oberflächen der beiden Wassersäulen. Der Gesamtdruck an diesen beiden Punkten muß gleich sein. Dann gilt

$$p_{0} + p + \frac{1}{2} \rho v^{2} + \rho g h_{1} = p_{0} + p + \rho g h_{2}.$$

wobei $p_{0}$ der äußere Luftdruck und $p$ der statische Druck ist.

$$g (h_{1} - h_{2}) = \frac{1}{2} v^{2}$$

Die Geschwindigkeit ist dann

$$v = \sqrt{2 g \; \Delta h}$$

und das Volumen pro Sekunde:

$$A v = 0,26 \; m^{3}/s.$$