\documentstyle[11pt,german,epsfig,uebung]{article}
\begin{document}
\briefkopf
\Large
\centerline{L"osungen zur \"Ubung Nr.8}
\normalsize
\centerline{\bf Besprechung: Donnerstag, d. 15. Dezember 2005}
\newline \vskip 0.5cm
{\bf Aufgabe 1:} \newline
a) Erde und Mond bewegen sich auf Kreisbahnen um ihren gemeinsamen Schwerpunkt, daher gilt
\begin{eqnarray}
m_{E} r_{1} &=& m_{M} r_{2} \nonumber \\
r &=& r_{1} + r_{2} = 385000 \; km \nonumber 
\end{eqnarray}
Daraus folgern wir
\begin{eqnarray}
r_{1} &=& \frac{r}{1 + m_{E}/m_{M}} = 4700 \; km \nonumber \\
r_{2} &=& \frac{r}{1 + m_{M}/m_{E}} = 380300 \; km \nonumber 
\end{eqnarray}
\begin{figure}[here]
\centerline{\epsfig{file=MOND.eps,scale=0.5}}
\caption{Erde- Mond System mit Schwerpunkt S.}
\end{figure}
Das Bewegungszentrum liegt also noch innerhalb der Erdkugel. Diese 380000 $km$ werden "ublicherweise als
Abstand von Erde und Mond angegeben. Das ist ersichtlich nicht ganz richtig, es ist genau genommen der Bahnradius des
Mondes. \newline
b) Die Umlaufdauer des Mondes wird "uber die Bewegungsgleichung
\begin{displaymath}
m_{M} a_{r} = - G \frac{m_{M} m_{E}}{r^{2}}
\end{displaymath}
bestimmt. Hier muss man jetzt aufpassen. Im Gravitationsgesetz steht der Abstand $r = r_{1} + r_{2}$ zwischen Mond und
Erde, w"ahrend die Radialbeschleunigung des Mondes mit dem Bahnradius $r_{2}$ beschrieben werden muss:
\begin{displaymath}
a_{r} = \omega^{2} r_{2} = - \frac{4 \pi^{2}}{T^{2}} r_{2}.
\end{displaymath}
Damit findet man
\begin{displaymath}
T = \sqrt{\frac{4 \pi^{2}}{G} \frac{r^{3}}{(m_{E} + m_{M})}} = 27,3 \; Tage.
\end{displaymath}
\newline \vskip 0.5cm
{\bf Aufgabe 2:} \newline
Wir betrachten die Punkte $A$ und $B$ in der folgenden Skizze.
\begin{figure}[here]
\centerline{\epsfig{file=ERDE.eps,scale=0.5}}
\caption{Ellipsenbahn eines Planeten mit Sonne S.}
\end{figure}
In diesen Punkten ist der Drehimpuls durch $L_{A} = m | \vec{r}_{A} \times \vec{v}_{A} | = m r_{A} v_{A}$ und
$L_{B} = m | \vec{r}_{B} \times \vec{v}_{B} | = m r_{B} v_{B}$ gegeben, da der Ortsvektor in diesen beiden
Punkten senkrecht zur Geschwindigkeit ist.
Dann ist mit $L_{A} = L_{B} = L$
\begin{eqnarray}
\frac{1}{2} m v_{A}^{2} &=& \frac{1}{2} \frac{L^{2}}{m r_{A}^{2}} \nonumber \\
\frac{1}{2} m v_{B}^{2} &=& \frac{1}{2} \frac{L^{2}}{m r_{B}^{2}} \nonumber
\end{eqnarray}
und mit Formel (3), Skript Teil 7, Seite 5 auch
\begin{eqnarray}
E_{ges,A} &=& \frac{L^{2}}{2 m r_{A}^{2}} - G \frac{m M}{r_{A}} \nonumber \\
E_{ges,B} &=& \frac{L^{2}}{2 m r_{B}^{2}} - G \frac{m M}{r_{B}} \nonumber
\end{eqnarray}
Da neben dem Drehimpuls auch die Gesamtenergie konstant ist, folgt
\begin{displaymath}
\frac{L^{2}}{2 m r_{A}^{2}} - G \frac{m M}{r_{A}} = \frac{L^{2}}{2 m r_{B}^{2}} - G \frac{m M}{r_{B}}
\end{displaymath}
Damit k"onnen wir jetzt den Drehimpuls berechnen:
\begin{displaymath}
\frac{L^{2}}{2m} = G m M \frac{r_{A}r_{B}}{r_{A}+r_{B}}
\end{displaymath}
Diesen Ausdruck setzen wir jetzt in die Formel f"ur die Gesamtenergie z.B. im Punkte $A$ ein:
\begin{displaymath}
E_{ges} = G m M \frac{r_{A} r_{B}}{(r_{A} + r_{B}) r_{A}^{2}} - G \frac{m M}{r_{A}} = - G \frac{m M}{r_{A} + r_{B}}
= - G \frac{mM}{2 a}.
\end{displaymath}
\newline \vskip 0.5cm
{\bf Aufgabe 3:}  \newline
Diese Aufgabe ist sehr "ahnlich der Aufgabe 2.  
Die Bahnen beider Satelliten werden durch Ellipsenbahnen beschrieben. Die Anfangsgeschwindigkeiten sind bei Abschuss am
"Aquator durch $v = v_{0} \pm \omega R_{E}$ beschrieben, mit der Kreisfrequenz $\omega$ der Eigenrotation der Erde. 
Den gr"o"sten Abstand
von der Erde erreicht der Satellit im Schnittpunkt der Bahn mit der gro"sen Halbachse. Die Geschwindigkeit im Punkte $A$
sei $v_{A}$, dann gilt wegen Drehimpulserhaltung
\begin{displaymath}
v R_{E} = v_{A} R_{A}
\end{displaymath}
\begin{figure}[here]
\centerline{\epsfig{file=SATELLIT.eps,scale=0.5}}
\caption{Bahnen von Satelliten der Erde}
\end{figure}

Erhaltung der Gesamtenergie verlangt:
\begin{displaymath}
\frac{1}{2} v^{2} - G \frac{M_{E}}{R_{E}} = \frac{1}{2} v_{A}^{2} - G \frac{M_{E}}{R_{A}}
\end{displaymath}
Wir ersetzen $G M_{E}/R_{E}^{2} = g$ durch die Schwerebeschleunigung auf der Erdoberfl"ache, dann erhalten wir
\begin{displaymath}
\frac{1}{2} v^{2} - g R_{E} = \frac{1}{2} v_{A}^{2} - g \frac{R_{E}^{2}}{R_{A}}
\end{displaymath}
Wir "ubernehmen $v_{A}$ aus der Formel f"ur die Drehimpuls- Erhaltung und erhalten:
\begin{displaymath}
\frac{1}{2} v^{2} - g R_{E} = \frac{1}{2} v^{2} \frac{R_{E}^{2}}{R_{A}^{2}} - g \frac{R_{E}^{2}}{R_{A}}
\end{displaymath}
Damit erhalten wir die quadratische Gleichung f"ur den Abstand $R_{A}$:
\begin{displaymath}
(v^{2} - 2 g R_{E}) R_{A}^{2} + (2 g R_{E}^{2}) R_{A} - v^{2} R_{E}^{2} = 0
\end{displaymath}
mit den zwei L"osungen:
\begin{eqnarray}
R_{A} &=& R_{E} \nonumber \\
R_{A} &=& \frac{R_{E}}{2 g R_{E}/v^{2} -1} \nonumber
\end{eqnarray}
Die erste L"osung ist der Abschu"sort, der zweite L"osung ist der maximale Abstand.
Wir setzen jetzt noch die Anfangsgeschwindigkeiten $v = v_{0} \pm \omega R_{E}$ ein und erhalten f"ur die beiden
Satelliten die Maximalabst"ande
$R_{A,1}= 7,14 \; R_{E}$ und $R_{A,2} = 2,70 \; R_{E}$. Man sieht, da"s die Eigenrotation der Erde einen gro"sen
Einfluss auf die Ellipsenbahn hat. \newline
b) Der kritische Satellit ist der mit der gr"o"seren Geschwindigkeit. Der Maximalabstand vom Erdmittelpunkt wird
unendlich, wenn der Nenner in der Formel von Teil a) Null wird, d.h.
\begin{displaymath}
2 g \frac{R_{E}}{v^{2}} = 1
\end{displaymath}
oder
\begin{displaymath}
v_{krit}^{2} = 2 g R_{E}.
\end{displaymath}
mit $v_{krit} = v_{0,krit} + \omega R_{E}$ erhalten wir
\begin{displaymath}
v_{0,krit} = - \omega R_{E} + \sqrt{2 g R_{E}} = 10,72 \; km/s
\end{displaymath} 
Der zweite Satellit verschwindet dagegen erst bei $v_{0,krit} = 11,64 \; km/s$ im Weltall. Die kritische Geschwindigkeit
ohne Erdrotation ist $11,2 \; km/s$.

 











\end{document}