\documentstyle[11pt,german,epsfig,uebung]{article}
\begin{document}
\briefkopf
\Large
\centerline{L"osungen zur \"Ubung Nr.4}
\normalsize
\centerline{\bf Besprechung: Donnerstag, d. 17. November 2005}
\newline \vskip 0.5cm
{\bf Aufgabe 1:} \newline
a) Die Feder wird in zwei gleich lange Teile unterteilt.
\begin{figure}[here]
\centerline{\epsfig{file=feder_s.eps,scale=0.7}}
\caption{Hintereinanderschaltung zweier Federn}
\end{figure}
An beiden Federn wirkt jetzt die gleiche Kraft, daher
\begin{displaymath}
F = Dx = F_{1} = F_{2} = D_{1} x_{1} = D_{2} x_{2} 
\end{displaymath}
Daher folgt die Beziehung zwischen den Auslenkungen der beiden Federn:
\begin{displaymath}
x_{2} = \frac{D_{1}}{D_{2}} x_{1}.
\end{displaymath}
Die Gesamtauslenkung beider Ferdern ist die Summe der Einzelauslenkungen, d.h. $x = x_{1} + x_{2}$. Daher gilt:
\begin{eqnarray}
D x &=& D ( x_{1} + x_{2}) = D \left( x_{1} + \frac{D_{1}}{D_{2}} x_{1} \right) \nonumber \\
    &=& D \left( \frac{D_{1}+D_{2}}{D_{2}} \right) x_{1} = D_{1} x_{1} \nonumber 
\end{eqnarray}
Zum Schluss haben wir hierbei eine Beziehung aus der ersten Gleichung benutzt. Hieraus k"onnen wir folgern:
\begin{displaymath}
D = \frac{D_{1}D_{2}}{D_{1} + D_{2}}
\end{displaymath}
In unserer Aufgabe ist noch speziell $D' = D_{1} = D_{2}$, daher \underline{$D = D'/2$ und $D' = 2 D$.} \newline
b) Jetzt kommen wir zur Parallelschaltung der beiden halben Federn.
\begin{figure}[here]
\centerline{\epsfig{file=feder_p.eps,scale=0.7}}
\caption{Parallel montierte Federn}
\end{figure}
"Ubt man auf dieses System eine Kraft $F$ aus, so ist diese die Summe aus den Kr"aften an den Einzelfedern,
\begin{displaymath}
F = F_{1} + F_{2} = D' x + D' x = 2 D' x = D'' x.
\end{displaymath}
Die Federkonstante des parallel geschalteten Systems ist also \underline{$D'' = 2 D' = 4D$}.
\newline \vskip 0.5cm
{\bf Aufgabe 2:} \newline
W"ahrend das Seil auf den Boden f"allt, wirken zwei Kr"afte: Erstens das Gewicht von dem bereits auf dem Boden liegenden
Teil des Seils und zweitens die durch den Impulsverlust des herunterfallenden Seils erzeugte Kraft. Wir betrachten ein 
Element des Seils mit Masse $dm$ und L"ange $dy$, das gerade den Boden erreicht.
Die Masse dieses Teilst"ucks ist $dm = (M/L) dy$ und die Kraft durch den Impulsverlust ist
\begin{displaymath}
\Delta F = \frac{dp}{dt} = \frac{v \; dm}{dt} = \frac{M}{L} v \frac{dy}{dt} = \frac{M}{L} v^{2}.
\end{displaymath}
Hierbei ist $v$ die Geschwindigkeit, mit der dieses Massenelement den Boden erreicht. Diese Geschwindigkeit ist von der
H"ohe abh"angig, in der das Element gestartet ist und betr"agt $v^{2} = 2 g y$, wobei $y$ die L"ange des Seilst"uckes
ist, das bereits auf dem Boden liegt, und daher die Fallh"ohe des Seilelementes $dm$ ist. Wir erhalten also
\begin{displaymath}
\Delta F = 2 \frac{M}{L} g y.
\end{displaymath}
Die Gesamtkraft ergibt sich aus der Summe dieser Kraft und dem Gewicht des bereits auf dem Boden liegenden
Teil des Seilst"uckes:
\begin{displaymath}
F = \Delta F + F_{s} = \Delta F + \frac{M}{L} y g = 3 M g \frac{y}{L}.
\end{displaymath}
Das Verh"altnis der Gesamtkraft zu dem bereits auf dem Boden liegenden Gewicht ist also
\underline{$F/F_{s} = 3$}.
\newline \vskip 0.5cm 
{\bf Aufgabe 3:} \newline
Die Massendichten von Erde und Planet sollten gleich sein, aslo $\rho = \rho_{Erde} = \rho_{Planet}$. F"ur die
Schwereberschleunigung an der Oberfl"ache des Planeten gilt dann:
\begin{displaymath}
g_{P} = \gamma \frac{M_{P}}{R^{2}_{P}}
\end{displaymath}
mit des Masse $M_{P}$ und Radius $R_{P}$ des Planeten. F"ur das Verh"altnis der Schwerebeschleunigungen auf
Planet und Erde gilt dann
\begin{displaymath}
\frac{g_{P}}{g_{E}} = \frac{M_{P}}{M_{E}} \frac{R_{E}^{2}}{R_{P}^{2}} 
= \frac{(4/3) \pi \rho R_{P}^{3}}{(4/3) \pi \rho R_{E}^{3}} \frac{R_{E}^{2}}{R_{P}^{2}}
\end{displaymath}
oder
\begin{displaymath}
\frac{g_{P}}{g_{E}} = \frac{R_{P}}{R_{E}}
\end{displaymath}
Da $R_{E} = 2 R_{P}$ sein sollte, folgt also \underline{$g_{P} = g_{E}/2 \approx 5 \; m/s^{2}$}.
\newline \vskip 0.5cm
{\bf Aufgabe 4:}  \newline
Wenn der K"orper auf einer Kreisbahn laufen soll, mu"s die Radialbeschleunigung $a_{r} = v^{2}/(R_{E}+h)$ gleich der
Schwerebeschleunigung $a_{g} = \gamma M_{E}/(R_{E} + h)^{2}$ sein. Also
\begin{displaymath}
\frac{v^{2}}{R_{E}+h} = \gamma \frac{M_{E}}{(R_{E}+h)^{2}} 
\end{displaymath}
Die Geschwindigkeit folgt aus
\begin{displaymath}
v^{2} = \gamma \frac{M_{E}}{R_{E} + h} = \gamma \frac{M_{E}}{R_{E}^{2}} \; \frac{R_{E}^{2}}{R_{E}+h}
\end{displaymath}
oder
\begin{displaymath}
v^{2} = g_{E} \frac{R_{E}^{2}}{R_{E} + h}.
\end{displaymath}
wobei also $g_{E}$ die Schwerebeschleunigung auf der Erdoberfl"ache ist. Einsetzen der Zahlenwerte ergibt
$v \approx 7,7 \; km/s$
\end{document}