Übung Nr.3

Besprechung: Donnerstag, d. 10. November 2005

Aufgabe 1:
a) Gesucht ist der Vektor

$$\vec{r}(t) = \left( \begin{array}{c} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \e... ... \begin{array}{c} x_{0} \\ y_{0} \\ z_{0} \end{array} \right).$$

Dieses schreiben wir noch in der Form

$$\left( \begin{array}{c} x - x_{0} \\ y - y_{0} \\ z - z_{0} ... ... sin(\omega t) \\ v_{0} t + (1/2) q t^{2} \end{array} \right).$$

b) Aus der vorherigen Formel ersehen wir, daß

$$(x - x_{0})^{2} = \frac{a^{2}}{\omega^{2}} cos^{2}(\omega t)$$

$$(y - y_{0})^{2} = \frac{b^{2}}{\omega^{2}} sin^{2}(\omega t)$$

Daher ist

$$\frac{(x - x_{0})^{2}}{a^{2}/\omega^{2}} + \frac{(y - y_{0})... ...b^{2}/\omega^{2}} = cos^{2}(\omega t) + sin^{2}(\omega t) = 1.$$

Dieses ist aber nichts anderes als die Gleichung einer Ellipse mit den Achsen $a/\omega$ und $b/\omega$ und dem Mittelpunkt $(x_{0}, y_{0})$.

Abbildung 1: Graphische Darstellung einer Ellipse

c) Für die Beschleunigung müssen wir die Geschwindigkeit nach der Zeit ableiten:

$$\vec{a}(t) = \left( \begin{array}{c} a_{x} \\ a_{y} \\ a_{z}... ...ga t) \\ - b \omega \; sin(\omega t) \\ q \end{array} \right).$$

Aufgabe 2:
Zur Lösung nehmen wir das Haus $B$ einfach weg. Wir erhalten dann eine Wurfparabel, die bei $x_{1} = 2 d$ den Wert $z_{1} = -h$ haben muß.

Abbildung 2: Wurfparabel mit horizontaler Anfangsgeschwindigkeit

Mit Formel (15) aus den Skript Teil 3 erhalten wir (beachte $tan\beta = 0$ und $cos\beta = 1$)

$$z(x) = tan\beta \; x - \frac{g}{2 v_{0}^{2} cos^{2}\beta } x^{2}$$

$$-h = - \frac{4 g d^{2}}{2 v_{0}^{2}}$$

und

$$v_{0} = \sqrt{\frac{2 g}{h} } d = \sqrt{\frac{20 \; m/s^{2}}{20 \; m} } 15 \; m = 15 \; m/s.$$

Aufgabe 3:
Diese Aufgabe kann auf zwei verschiedenen Wegen gelöst werden. Man könnte einmal die im Skript Kap.3, Formel (15) angegebene Bahnkurve

$$z_{1}(x) = tan(\alpha + \beta) \cdot x - \frac{g}{2 v_{0}^{2} cos^{2}(\alpha + \beta)} \cdot x^{2}$$

verwenden. Man beachte allerdings, daß wir den Winkel $\beta$ in der Formel im Skript durch den Winkel $\alpha + \beta$ ersetzen mußten. Weiter kann man den Schnittpunkt $(x_{s}, z_{s})$ dieser Wurfparabel mit der Geraden $z_{2}(x) = tan(\alpha) \cdot x$ bestimmen. Die Wurfweite ist dann $s = x_{s}/cos(\alpha)$. Wir wollen die Rechnung hier nicht durchziehen, da man auf mühsame trigonometrische Audrücke geführt wird. Eleganter und einfacher ist die folgende Lösung:
Wir führen ein neues Bezugssystem ein, bei dem die $x'$- Achse entlang des Abhanges zeigt und $z'$ senkrecht dazu steht.

Abbildung 3: Rotation des Bezugssystems

In der folgenden Rechnung bedeutet der Strich also keine Ableitungen, sondern die physikalischen Größen im gedrehten System. Die Geschwindigkeit des Balles beim Abschuss ist jetzt (die $y$- Komponenten schreiben wir nicht mit):

$$\vec{v'}_{0} = \left( \begin{array}{c} v_{0,x'} \\ v_{0,z'} ... ...rray}{c} v_{0} cos\beta \\ v_{0} sin\beta \end{array} \right)$$

und die Gravitationsbeschleunigung

$$\vec{g'} = - g \left( \begin{array}{c} sin\alpha \\ cos\alpha \end{array} \right).$$

Die Gleichung (13) im Skript verändert sich zu

$$\vec{r}(t) = \left( \begin{array}{c} v_{0} cos\beta \cdot t ... ...beta \cdot t - (g/2) cos\alpha \cdot t^{2} \end{array} \right)$$

Der Ball trifft wieder auf den Abhang, wenn $z' = 0$ wird. Daraus folgt die Zeit $T$ bis zum Auftreffen:

$$T = \frac{2 v_{0}}{g} \frac{sin\beta}{cos\alpha}.$$

Diese Zeit setzen wir in die $x'$- Komponente der Bahnkurve ein und erhalten sofort

$$s = \frac{2 v_{0}^{2}}{g} \frac{sin\beta \; cos\beta}{cos\al... ... v_{0}^{2}}{g} \frac{sin\alpha \; sin^{2}\beta}{cos^{2}\alpha}$$

Da wir gleich noch nach $\beta$ ableiten wollen, schreiben wir übersichtlicher (man beachte $2 sin(\beta) cos(\beta) = sin(2 \beta)$)

$$s(\beta) = \frac{v_{0}^{2}}{g \; cos\alpha} sin(2\beta) - \frac{2 v_{0}^{2} sin\alpha}{g \; cos^{2}\alpha} sin^{2}(\beta).$$

Die maximale Weite erhält man aus der Extremalbedingung $ds(\beta)/d\beta = 0$,

$$\frac{ds}{d\beta} = \frac{2 v_{0}^{2}}{g \; cos\alpha} cos(2... ...2 v_{0}^{2} sin\alpha}{g \; cos^{2}(\alpha)} sin(2 \beta) = 0.$$

oder auch

$$cos(2 \beta_{max}) - \frac{sin\alpha \; sin(2 \beta_{max})}{cos\alpha} = 0.$$

Daraus folgt die einfache Bedingung:

$$tan(2 \beta_{max}) = \frac{1}{tan(\alpha)}.$$

Diese Gleichung wir gelöst durch $\beta_{max} = \pi/4 - \alpha/2$ (siehe Bronstein, Taschenbuch der Mathematik). Der Abschusswinkel mit maximaler Weite ist also $\beta_{max} = \pi/4 - \pi/12 \approx 0,524 \approx 30^{o}$.