\documentstyle[11pt,german,uebung]{article}
\begin{document}
\briefkopf
\Large
\centerline{L"osungen zur \"Ubung Nr.1}
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\centerline{\bf Besprechung: Donnerstag, d. 27. Oktober 2005}
\newline \vskip 2mm
{\bf Aufgabe 1:} \newline
Die physikalische Dimension mu"s auf beiden Seiten der Gleichungen "ubereinstimmen. Diese Forderung ergibt: \newline
a)
\begin{eqnarray}
\left[ \frac{m}{s} \right]^{n} &=& k \left[ \frac{m}{s^{2}} \right]^{j} [m] \nonumber \\
\left[ \frac{m^{n-j-1}}{s^{n-2j}} \right] &=& 1 \nonumber
\end{eqnarray}
Daraus folgt $n-j-1 = 0$ und $n-2j=0$, also $n=2$ und $j=1$. Die Gleichung lautet also $v^{2} = k a x$. Diese Gleichung gibt es
bei der normalen konstanten Beschleunigung. Dann ist zun"achst $v = a t$. Mit $x = (1/2) a t^{2} = (1/2) v t$ folgt auch
$v = 2x/t$ und damit $v^{2} = 2 a x$. Unsere Gleichung ist also erf"ullbar mit $k=2$. \newline
b) Hier steht jetzt:
\begin{displaymath}
1 = \left[ \frac{m}{s^{2}} \right]^{n} \left[ \frac{m}{s} \right]^{j} [s]^{i} = \left[ \frac{m^{n+j}}{s^{2n+j-i}} \right]
\end{displaymath}
Dieses ergibt $n+j = 0$ und $2n+j-i=0$, was durch $n=1$, $j=-1$ und $i=1$ gel"ost wird. Die entsprechende Gleichung lautet
\begin{displaymath}
k = a v^{-1} t \; \; \; \; \; \rightarrow \; \; \; \; \; k v = a t.
\end{displaymath}
Dieses ist also wieder wie in a) eine Bewegung mit konstanter Beschleunigung, wobei noch $k = 1$ sein muss. \newline
c) Bei der letzten Gleichung mu"s das Argument der Sinusfunktion dimensionslos sein. In der L"osung ersetzen wir die
nat"urliche Zahl $m$ in der Aufgabenstellung durch $l$, um nicht mit der Dimension $m$ der L"ange in Konflikt zu kommen. 
\begin{displaymath}
1 = \left[ m \right] \left[ s \right]^{i} \left[ \frac{m}{s^{2}} \right]^{l} = \left[ \frac{m^{l+1}}{s^{2l-i}} \right]
\end{displaymath}
Also $l = -1$ und $i = -2$. Weiterhin mu"s der Faktor vor der Sinusfunktion die Dimension einer L"ange haben:
\begin{eqnarray}
[m] &=& \left[ \frac{m}{s^{2}} \right]^{n} \left[ s \right]^{j} \nonumber \\
1 &=& \left[ \frac{m^{n-1}}{s^{2n-j}} \right] \nonumber 
\end{eqnarray}
Daher mu"s $n=1$ und $j=2$ sein. Unsere Gleichung lautet:
\begin{displaymath}
x  = a t^{2} \; sin\left( \frac{x}{a t^{2}} \right)
\end{displaymath}
oder
\begin{displaymath}
\frac{x}{at^{2}} = sin \left( \frac{x}{a t^{2}} \right).
\end{displaymath}
Diese Gleichung kann nur f"ur $x = 0$ erf"ullt werden, ergibt also physikalisch keinen Sinn.    
\newline \vskip 0.5cm
{\bf Aufgabe 2:} \newline
Die Volumenangabe des in der Arktis gebundenen Wassers (haupts"achlichst S"u"swasser) ist nur eine grobe Sch"atzung.
Gegenw"artig untersucht der Forschungssattelit CyroSat die Menge des Eises am Nordpol (gestartet 2003). Erste Ergebnisse zeigen,
da"s die Menge des Eises durchaus Faktoren 2 bis 5 gr"o"ser sein kann als in der Aufgabenstellung angegeben ist.
Falls dieses Wasser schmelzen w"urde und dieses Wasser nur in die Ozeane fliessen w"urde (was nat"urlich auch nur
eine grobe N"aherung ist), dann erh"alt man aus der Fl"ache der Ozeane,
\begin{displaymath}
A_{Ozeane} = 0,8 \cdot 4 \pi R_{Erde}^{2} = 3,62 \cdot 10^{8} \; km^{2}
\end{displaymath}
und dem Volumen des geschmolzenen Eises,
\begin{displaymath}
V_{Wasser} = A_{Ozeane} h = 2,6 \cdot 10^{6} \; km^{3}
\end{displaymath}
die zus"atzliche H"ohe $h$ der Ozeane
\begin{displaymath}
h = \frac{2 \cdot 10^{6} \; km^{3}}{3,62 \cdot 10^{8} \; km^{2}} = 0,55 \cdot 10^{-2} \; km = 0,55 \cdot 10^{-2} \cdot 10^{3} \; m
= 5,5 \; m.
\end{displaymath}
Das w"are also soviel wie ein zweist"ockiges Haus. 
\newline \vskip 0.5cm
{\bf Aufgabe 3:}  \newline
a) Der relative Fehler ist definiert als (hier ist $M$ eine Masse)
\begin{displaymath}
\frac{\Delta M}{M} = \frac{0,5 \; mg}{10 \; g} = \frac{0,5 \cdot 10^{-3} \; g}{10 \; g} = 5 \cdot 10^{-5} = 5 \cdot 10^{-3} \%
= 0,005 \; \%.
\end{displaymath}
b) Der relative Fehler soll $\Delta L/L = 5 \cdot 10^{-5}$ sein, der absolute Fehler also
\begin{displaymath}
\Delta L = 5 \cdot 10^{-5} \; L = 5 \cdot 10^{-5} \cdot 10^{3} \; m = 5 \cdot 10^{-2} m = 5 \; cm.
\end{displaymath}
c) Jetzt wollen wir die L"ange von $L = 1 \;km$ durch mehrmaliges Anlegen des Urmeters mit der L"ange $L_{u} = 1 \; m$ messen.
Wir messen also eine L"ange $n$ mal und wollen die Summe der Einzelmessungen bilden. Hier kommt es jetzt entscheidend auf 
das Me"sverfahren an. In unsrerem Fall wird man nach jeder Messung einen Strich ziehen und das Urmeter an diesen Strich
anlegen. Wenn man das Anlegen des Urmeters an den Strich immer systematisch zu kurz oder zu lang anlegt, wirken die
Fehler der Einzelmessungen immer in die gleiche Richtung, entweder zu kurz oder zu lang. In diesem Fall sollte man den 
{\bf absoluten Gr"o"stfehler} berechnen:
\begin{displaymath}
\Delta L = \sum_{i=1}^{1000} \Delta L_{i} = 1000 \Delta L_{i}.
\end{displaymath}
Wir d"urfen dann in der Einzelmessung nur einen Fehler von $\Delta L_{i} = \Delta L/1000 = 50 \; \mu m$ machen.
Stellt man allerdings in Rechnung, da"s eine gewisse Wahrscheinlichkeit f"ur einen teilweisen gegenseitigen Ausgleich der Fehler
der Einzelmessungen besteht, wenn man also in unserem Fall das Urmeter einmal zu kurz, beim n"achsten mal zu lang anlegt, 
so liefert die Theorie f"ur den {\bf mittleren Fehler} die Gleichung
\begin{displaymath}
(\Delta L)^{2} = \sum_{i=1}^{1000} (\Delta L_{i})^{2} = 1000 (\Delta L_{i})^{2}
\end{displaymath}
d.h., man mu"s die Quadrate der Fehler der Einzelmessungen addieren. In diesem Fall erhalten wir    
\begin{displaymath}
\Delta L_{i} = \frac{\Delta L}{\sqrt{1000}} = \frac{5 \; cm}{31,62}  = 0,16 cm = 1,6 \; mm.
\end{displaymath} 
\end{document}