Übung Nr.8

Abgabetermin: Donnerstag 18.Dezember 2003

Aufgabe 1: (7 Punkte)
Der Abstand zwischen den Zentren von Erde und Mond ist $r = 385000 \; km$. Beide kreisen um einen gemeinsamen Schwerpunkt. Die Mondmasse beträgt 1/81 der Erdmasse $m_{E}$. Nehmen Sie vereinfachend an, daß die Zentralbewegung des Mondes auf einer Kreisbahn erfolgt (die wirkliche Exzentrizität beträgt $5,5\%$). Vernachlässigen Sie weiterhin den Einfluß der Gravitation aller anderen Planeten und der Sonne.
a) In welchem Punkt der Erde liegt das Zentrum der Mondbahn ?
b) Wie groß ist die Umlaufdauer $T$ des Mondes um die Erde unter Berücksichtigung der Bewegung der Erde ?
Aufgabe 2: (7 Punkte)
Asterix und Obelix wollen ein Paket nach Australien, diametral auf der anderen Seite der Erde, schicken. Obelix schlägt vor, das Paket auf einem halbkreisförmigen Weg um die Erde herum zu schleudern, während Asterix meint, man solle einen Tunnel mitten durch die Erde graben und das Paket einfach fallen lassen. Auf welchem Weg kommt das Paket schneller an ? Begründen Sie Ihre Antwort. (Vernachlässigen Sie die Zeit für die Erdarbeiten und die Luftreibung. Weiterhin sei die Massendichte $\rho$ in der gesamten Erde konstant).
Aufgabe 3: (6 Punkte)
Einige außergalaktische Spiralnebel können näherungsweise als homogene Kreisplatten mit vernachlässigbarer Dicke betrachtet werden. Berechnen Sie Potential und Feldstärke eines Gravitationsfeldes, das von einer dünnen Kreisplatte der Masse $M$ und Radius $R$ erzeugt wird, für einen Ort $P$ auf der zur Platte senkrechten Mittelpunktsachse im Abstand $x$ von der Platte.
Aufgabe 4: (Bonusaufgabe) (5 Punkte)
Sei $a$ die große Halbachse der Ellipsenbahn eines Planeten der Masse $m$ um die Sonne der Masse $M$. Zeigen Sie, daß für die Gesamtenergie des Planeten gilt (siehe Skript Seite 118):

$$W_{ges} = -\gamma \frac{m M}{2a}$$