\documentstyle[11pt,german,uebung]{article}
\begin{document}
\briefkopf
\Large
\centerline{\"Ubung Nr.8}
\large
\centerline{Abgabetermin: Donnerstag 18.Dezember 2003}
\normalsize
\newline \vskip 2mm
{\bf Aufgabe 1:} \hspace{10cm} (7 Punkte) \newline
Der Abstand zwischen den Zentren von Erde und Mond ist $r = 385000 \; km$. 
Beide kreisen um einen gemeinsamen
Schwerpunkt.  Die Mondmasse betr\"agt 1/81 der Erdmasse 
$m_{E}$. Nehmen Sie vereinfachend an, da"s die Zentralbewegung des Mondes auf einer Kreisbahn
erfolgt (die wirkliche Exzentrizit\"at betr\"agt $5,5\%$). Vernachl\"assigen Sie weiterhin
den Einflu"s der Gravitation aller anderen Planeten und der Sonne.  \newline
a) In welchem Punkt der Erde liegt das Zentrum der Mondbahn ? \newline
b) Wie gro"s ist die Umlaufdauer $T$ des Mondes um die Erde unter Ber\"ucksichtigung der Bewegung
der Erde ?
\newline \vskip 2mm
{\bf Aufgabe 2:} \hspace{10cm} (7 Punkte) \newline 
Asterix und Obelix wollen ein Paket nach Australien, diametral auf der anderen Seite der Erde,
schicken. Obelix schl\"agt vor, das Paket auf einem halbkreisf\"ormigen Weg um die Erde 
herum zu schleudern, w\"ahrend Asterix meint, man solle einen Tunnel mitten durch die Erde 
graben und das Paket einfach fallen lassen. Auf welchem Weg kommt das Paket schneller
an ? Begr\"unden Sie Ihre Antwort. 
(Vernachl\"assigen Sie die Zeit f\"ur die Erdarbeiten und die Luftreibung. Weiterhin sei die
Massendichte $\rho$ in der gesamten Erde konstant).   
\newline \vskip 2mm
{\bf Aufgabe 3:} \hspace{10cm} (6 Punkte) \newline
Einige au"sergalaktische Spiralnebel k\"onnen n\"aherungsweise als homogene Kreisplatten
mit vernachl\"assigbarer Dicke betrachtet werden. Berechnen Sie Potential und 
Feldst\"arke eines Gravitationsfeldes, das von einer d\"unnen Kreisplatte der
Masse $M$ und Radius $R$ erzeugt wird, f\"ur einen Ort $P$ auf der zur Platte
senkrechten Mittelpunktsachse im Abstand $x$ von der Platte.  
\newline \vskip 2mm
{\bf Aufgabe 4:} (Bonusaufgabe) \hspace{7.5cm} (5 Punkte) \newline
Sei $a$ die gro"se Halbachse der Ellipsenbahn eines Planeten der Masse $m$ um die Sonne
der Masse $M$. Zeigen Sie, da"s f\"ur die Gesamtenergie des Planeten gilt (siehe Skript Seite 118):
\begin{displaymath}
W_{ges} = -\gamma \frac{m M}{2a}
\end{displaymath}
\end{document}