Übung Nr.6

Abgabetermin: Donnerstag 4.Dezember 2003

Aufgabe 1: (7 Punkte)
Gegeben sei ein homogener gerader Kreiskegel der Masse $M$ und Höhe $H$. Die kreisförmige Basisfläche habe den Radius $R$.
a) Wo liegt der Schwerpunkt ?
b) Wie groß ist das Trägheitsmoment bei Rotation um die Symmetrieachse, die durch den Mittelpunkt des Basiskreises und durch die Spitze des Kegels geht ?
Aufgabe 2: (7 Punkte)
Eine Vollkugel und eine Hohlkugel mit vernachlässigbar dünner Wandstärke rollen reibungsfrei auf einer Ebene mit der Geschwindigkeit $v_{0} = 2 \; m/s$.
a) Berechnen Sie das Trägheitsmoment der Hohlkugel als Funktion der Masse $M$ und Radius $R$.
b) Beide Kugeln rollen danach eine schiefe Ebene hoch. Bei welchen Höhen $h_{1}$ und $h_{2}$ kommen die Kugeln zur Ruhe ?
Aufgabe 3: (6 Punkte)
In der Vorlesung wurde experimentell gezeigt, daß eine Maxwellsche Scheibe (Jojo, siehe Skript Seite 81) sowohl beim Abrollen als auch beim Aufrollen leichter wurde. Ein Jojo bestehe aus einer Alluminiumscheibe mit Radius $R=80 \; mm$ und einer Dicke $D=6 \; mm$, die Achse aus Eisen habe einen Durchmesser $d= 5 \; mm$ und eine Länge $l = 200 \; mm$. Alluminium und Eisen haben die Dichten $\rho_{Al} = 2,7 \; g/cm^{3}$ und $\rho_{Fe} = 7,9 \; g/cm^{3}$.
a) Berechnen Sie die scheinbare Gewichtsänderung.
b) Wie müssen Sie den Durchmesser der Achse bei gleicher Masse ändern, damit diese Gewichtsänderung viermal so groß wird ?
Aufgabe 4: (Bonusaufgabe) (5 Punkte)
Zeigen Sie, daß in einem gegen $S$ rotierenden Bezugssystem $S'$ für jeden beliebigen Vektor $\vec{A}$ gilt (siehe auch Skript Seite 83):

$$\left( \frac{d\vec{A}}{dt} \right) _{S'} = \left( \frac{d\vec{A}}{dt} \right)_{S} - \vec{\omega} \times \vec{A}.$$

Hierbei ist $\vec{\omega}$ die Kreisfrequenz der Rotation.