Definitionen: Wir erinnern uns an die Definition des
Riemannschen Integrals einer Funktion in den Grenzen
von nach . Wir teilen die Strecke von nach in
Teilstrecken auf, im jedem dieser Teilstücke wählen
wir einen Punkt mit dem zugehörigen Funktionswert
. Dann ist das Integral definiert durch
Die Definition von mehrdimensionalen Integralen ist völlig analog.
Wir diskutieren zunächst zweidimensionale Integrale über eine
Fläche in der - Ebene.
Auf dieser Fläche sei eine Funktion definiert.
Das Gebiet wird wieder in beliebiger Weise in Teilflächen
zerlegt, im Innern (oder auch auf dem Rand)
eines jeden
Teilstückes wählt man einen beliebigen Punkt .
Dann ist
das zweifache Integral der Funktion über die Fläche
.
Entsprechend für das Volumenintegral einer Funktion
mit
:
Berechnung: Wir halten uns zunächst an zweidimensionale
Integrale, da die Prinzipien hier einfacher zu erkennen sind.
In der folgenden Skizze sei eine Fläche gegeben. Die äußersten
Punkt in seien und bzw die Punkte und in der
Ebene. Dann kann die Begrenzung der Fläche durch
und
gekennzeichnet werden.
Das Integral ist
Für jeden Punkt auf der - Achse bilden wir also zunächst
das Integral
zwischen den von abhängigen
Grenzen
und
.
Dieses Integral ist dann noch eine Funktion von . Schließlich
summieren (integrieren) wir alle diese Teilintegrale über
von bis .
Aufgabe 1: Zeigen Sie, daß das
Integral
, wobei die Fläche zwischen der
Parabel und der Geraden ist, durch
gegeben ist.
Die Berechnung von Volumenintegralen ist völlig identisch, nur
hat man zwei weitere Begrenzungsfunktionen
und
(siehe Skizze).
Wir sehen an dieser Formel bereits, daß Volumenintegrale in kartesischen
Koordinaten im allgemeinen sehr kompliziert werden. Wir verzichten
daher auf eine Aufgabe. In der Physik wählt man häufig andere
Koordinaten, die den speziellen Problemen besser angepaßt sind, und zwar
Zylinder- oder Kugelkoordinaten.
Volumenintegrale in Zylinder- und Kugelkoordinaten:
Zylinderkoordinaten sind gegeben durch
Das infinitesimale Volumenelement
kann dann
transformiert werden zu:
Wir wollen diese Formel hier nicht beweisen. Man muß im Prinzip
berechnen, entsprechend
und und alles in
einsetzen. Beim
Grenzübergang oder dürfen dann noch
alle Terme mit ,
und
vernachlässigt werden.
Die so erhaltene Formel
sieht auf den ersten Blick natürlich absolut nicht einfacher aus
als die Formel in kartesischen Koordinaten, im Gegenteil, wir haben uns
noch einen Faktor im Integranden eingehandelt. Trotzdem, wie wir
in einigen Anwendungen sehen werden, sind die Integrationsgrenzen
in Physik- Aufgaben häufig sehr einfach, nämlich Konstanten.
Bei der Wahl von Kugelkoordinaten ist
und das infinitesimale Volumenelement
Aufgabe 2: Schreiben Sie das Volumenintegral
in Kugelkoordinaten.
Als einfachstes Beispiel wollen wir das Volumen einer Kugel mit Radius
berechnen. Dann kann gewählt werden und die
Integrationsgrenzen sind durch
,
und
gegeben.
Aufgabe 3: Man berechne das Integral
, erstreckt über das
Volumen eines Kegels, dessen Höhe gleich und dessen Winkel an der
Spitze ist.
Lösungen zu den Rechenübungen am 27.11.2003
Aufgabe 1:
Aufgabe 2:
Aufgabe 3:
Lösung in Kugelkoordinaten:
Damit erhalten wir
Eigentlich bietet sich eine Lösung in Zylinderkoordinaten an. Diese ist in diesem Fall
allerdings sehr viel umständlicher, da die merkwürdige Funktion noch im Integral steht.
Harm Fesefeldt
2007-08-01