Übungen am 30.10.2003

Das Vektorprodukt
Neben dem Skalarprodukt zweier Vektoren wird in der Vorlesung demnächst auch das Vektorprodukt $\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}$ eingeführt. Das Ergebnis dieser Operation ist wieder ein Vektor, der senkrecht auf $\vec{a}$ und $\vec{b}$ steht und dessen Richtung mit Hilfe der ''rechte Hand Regel'' bestimmt werden kann (die armen Linkshänder !!!) :
Der Vektor $\vec{a}$ wird mit den Fingern über den kleineren Winkel nach $\vec{b}$ gedreht, der Daumen gibt dann die Richtung von $\vec{c}$ an. Hieraus folgt sofort, daß das Vektorprodukt nicht kommutativ ist:
\begin{displaymath}
\vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a}
\end{displaymath} (1)

Es gelten zwei Distributivgesetze:
$\displaystyle p (\vec{a} \times \vec{b})$ $\textstyle =$ $\displaystyle (p \vec{a}) \times \vec{b} = \vec{a} \times
(p \vec{b}), \; \; \; \; \; \; \; \; p = Skalar$ (2)
$\displaystyle \vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c})$ $\textstyle =$ $\displaystyle (\vec{a} \times \vec{b}) + (\vec{a}
\times \vec{c})$ (3)

während im allgemeinen

\begin{displaymath}
\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) \neq (\vec{a} \times \vec{b})
\times \vec{c} .
\end{displaymath}

Weiterhin gilt:
\begin{displaymath}
\vec{a} \times \vec{b} = 0, \; \; \; falls \; \; \; \vec{a} ...
...\; \; \;
\vec{a} \times \vec{a} = 0 \; \; \;
\forall \vec{a}
\end{displaymath} (4)

Der Betrag des Vektors $\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}$ ist
\begin{displaymath}
\vert\vec{c}\vert = \vert\vec{a} \times \vec{b}\vert = \vert\vec{a}\vert \vert\vec{b}\vert sin\phi ,
\end{displaymath} (5)

wobei $\phi$ der kleinere Winkel zwischen den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ist und der Fläche des von den Vektoren aufgespannten Parallelogramms entspricht.
Aufgabe 1: Seien $\vec{e}_{x}$, $\vec{e}_{y}$ und $\vec{e}_{z}$ die achsenparallelelen Einheitsvektoren in einem rechtwinkligen Koordinatensystem. Gegeben seien zwei Vektoren
$\displaystyle \vec{a}$ $\textstyle =$ $\displaystyle a_{x} \vec{e}_{x} + a_{y} \vec{e}_{y} + a_{z} \vec{e}_{z}$  
$\displaystyle \vec{b}$ $\textstyle =$ $\displaystyle b_{x} \vec{e}_{x} + b_{y} \vec{e}_{y} + b_{z} \vec{e}_{z}$  

Zeigen Sie, daß die Koeffizienten des Vektors $\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b} = c_{x} \vec{e}_{x} + c_{y} \vec{e}_{y}
+ c_{z} \vec{e}_{z}$ durch
\begin{displaymath}
c_{x} = a_{y} b_{z} - a_{z} b_{y}, \; \; \; \; \;
c_{y} = a...
... a_{x} b_{z}, \; \; \; \; \;
c_{z} = a_{x} b_{y} - a_{y} b_{x}
\end{displaymath} (6)

gegeben sind.
Weitere Formeln, die man häufig benötigt, und die mit Hilfe der Darstellung mit Einheitsvektoren bewiesen werden können, sind:
$\displaystyle \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})$ $\textstyle =$ $\displaystyle \vec{b}(\vec{a} \vec{c}) -
\vec{c} (\vec{a} \vec{b})$ (7)
$\displaystyle (\vec{a} \times \vec{b}) \vec{c}$ $\textstyle =$ $\displaystyle (\vec{b} \times \vec{c}) \vec{a} =
(\vec{c} \times \vec{a}) \vec{b}$ (8)
$\displaystyle (\vec{a} \times \vec{b})(\vec{c} \times \vec{d})$ $\textstyle =$ $\displaystyle (\vec{a} \vec{c})
(\vec{b} \vec{d}) - ( \vec{b} \vec{c}) (\vec{a} \vec{d})$ (9)

Aufgabe 2: Der Vektor $\vec{a}$ stehe senkrecht auf den Vektoren $\vec{b}$ und $\vec{c}$. Vereinfachen Sie für diese Bedingungen den Ausdruck $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})$.
Aufgabe 3: Betrachten Sie die drei Vektoren

\begin{displaymath}
\vec{u} = (\vec{e}_{x} + \vec{e}_{y})/\sqrt{2}, \; \; \; \; ...
... + \vec{e}_{y})/\sqrt{2}, \; \; \; \; \;
\vec{w} = \vec{e}_{z}
\end{displaymath}

a) Zeigen Sie, daß jeder dieser Vektoren ein Einheitsvektor ist.
b) Zeigen Sie, daß alle drei Vektoren jeweils aufeinander senkrecht stehen.
c) Berechnen Sie die Vektorprodukte von jeweils zwei der drei Vektoren.
Aufgabe 4: Betrachten Sie das von den Vektoren $\vec{a}$, $\vec{b}$ und $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ aufgespannte Dreieck.

Zeigen Sie mit Hilfe der Vektorprodukte $\vec{a} \times \vec{c}$ und $\vec{c} \times \vec{b}$, daß

\begin{displaymath}
\frac{sin\alpha}{\vert\vec{a}\vert} = \frac{sin\beta}{\vert\vec{b}\vert} =
\frac{sin\gamma}{\vert\vec{c}\vert}
\end{displaymath}





Harm Fesefeldt
2007-07-31