Übungen am 30.10.2003
Das Vektorprodukt
Neben dem Skalarprodukt zweier Vektoren wird in der Vorlesung demnächst auch das
Vektorprodukt
eingeführt. Das Ergebnis dieser Operation ist
wieder ein Vektor, der senkrecht auf und steht und dessen Richtung mit Hilfe
der ''rechte Hand Regel'' bestimmt werden kann (die armen Linkshänder !!!) :
Der Vektor wird mit den Fingern über den kleineren Winkel nach
gedreht, der Daumen gibt dann die Richtung von an.
Hieraus folgt sofort, daß das Vektorprodukt nicht kommutativ ist:
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(1) |
Es gelten zwei Distributivgesetze:
während im allgemeinen
Weiterhin gilt:
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(4) |
Der Betrag des Vektors
ist
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(5) |
wobei der kleinere Winkel zwischen den Vektoren und
ist und der Fläche des von den Vektoren aufgespannten
Parallelogramms entspricht.
Aufgabe 1: Seien , und
die achsenparallelelen Einheitsvektoren in einem rechtwinkligen
Koordinatensystem. Gegeben seien zwei Vektoren
Zeigen Sie, daß die Koeffizienten des Vektors
durch
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(6) |
gegeben sind.
Weitere Formeln, die man häufig benötigt, und die mit Hilfe der
Darstellung mit Einheitsvektoren bewiesen werden können, sind:
Aufgabe 2: Der Vektor stehe senkrecht auf den Vektoren
und .
Vereinfachen Sie für diese Bedingungen den Ausdruck
.
Aufgabe 3: Betrachten Sie die drei Vektoren
a) Zeigen Sie, daß jeder dieser Vektoren ein Einheitsvektor ist.
b) Zeigen Sie, daß alle drei Vektoren jeweils aufeinander senkrecht
stehen.
c) Berechnen Sie die Vektorprodukte von jeweils zwei der drei Vektoren.
Aufgabe 4: Betrachten Sie das von den Vektoren ,
und
aufgespannte Dreieck.
Zeigen Sie mit Hilfe der Vektorprodukte
und
, daß
Harm Fesefeldt
2007-07-31