Übungen am 23.10.2003

Aufgabe 1:
In den folgenden Gleichungen sei $x$ eine Länge, $t$ eine Zeit, $v$ eine Geschwindigkeit, $a$ eine Beschleunigung und $k$ eine dimensionslose Zahl:

\begin{displaymath}
a) \; \; \; v^{n} = k a^{j} x, \; \; \; \; \; \;
b) \; \; \;...
...\; \; \; \;
c) \; \; \; x = a^{n} t^{j} \; sin(x t^{i} a^{l})
\end{displaymath}

Bestimmen Sie für die jeweiligen Gleichungen die von Null verschiedenen kleinsten Zahlen $n,\; j,\; i$ und $l$.
Aufgabe 2:
Gegeben seien 2 Vektoren $\vec{u} = \vec{e}_{x} + \vec{e}_{y}$ und $\vec{w} = \vec{e}_{y} + \vec{e}_{z}$, wobei $\vec{e}_{x}$, $\vec{e}_{y}$ und $\vec{e}_{z}$ die Einheitsvektoren entlang der Achsen eines rechtwinkligen Koordinatensystems sind. Bestimmen Sie die Einheitsvektoren, die sowohl auf $\vec{u}$ als auch auf $\vec{w}$ senkrecht stehen.
Aufgabe 3:
Die Geschwindigkeit eines Körpers werde in einem rechtwinkligen Koordinatensystem durch folgende Gleichung beschrieben:

\begin{displaymath}
\vec{v}(t) = \left( \begin{array}{c} v_{x} \\ v_{y} \\ v_{z}...
...a t) \\ b \; cos(\omega t) \\
v_{0} + qt \end{array} \right)
\end{displaymath}

a) Berechnen Sie den Ortsvektor $\vec{r}(t)$, der die Bahn des Körpers im Raum beschreibt. Skizzieren Sie die Projektion der Bahn in die $x$- $y$- Ebene.
b) Welche Beschleunigungen wirken auf den Körper ?
Aufgabe 4:
Ein Schiff fährt mit der Strömung auf einem Fluß. Unterhalb einer Brücke verliert es eine Holzkiste. Nach einer halben Stunde Fahrtzeit bemerkt der Kapitän den Verlust, kehrt um und nimmt 5 $km$ von der Brücke entfernt die Kiste wieder an Bord. Wie groß ist die Geschwindigkeit des Stromes, wenn das Schiff stromabwärts und stromaufwärts mit der gleichen Geschwindigkeit relativ zum Wasser fährt.
Aufgabe 5:
Ein Schiff segelt bei ruhigem Wasser mit einer Geschwindigkeit von 12 Knoten hart am Wind nach Westen. Der Wind kommt aus Südwesten mit einer Geschwindigkeit von 3,5 $m/s$. Welche Windgeschwindigkeit und welche Windrichtung relativ zur Fahrtrichtung messen Sie als Skipper auf dem Schiff ?

Lösungen zu den Übungen am 23.10.2003
Aufgabe 1: Die Dimensionen müssen auf beiden Seiten der Gleichung übereinstimmen. Dieses ergibt:

\begin{displaymath}
a) \; \; \; \left[ \frac{m}{s} \right]^{n} = k \left[ \frac{...
...tarrow \; \; \; 1 = \left[ \frac{m^{n-j-1}}{s^{n-2j}} \right].
\end{displaymath}

Daher muss $n-2j=0$ und $n-j-1=0$ sein, d.h. $n=2$ und $j=1$.

\begin{displaymath}
b) \; \; \; 1 = \left[ \frac{m}{s^{2}}\right]^{n} \left[ \fr...
...tarrow \; \; \; 1 = \left[ \frac{m^{n+j}}{s^{2n+j-i}} \right].
\end{displaymath}

Also: $n+j=0$ und $2n+j-i=0$, oder $n=1$, $j=-1$ und $ i=1 $.
c) Hier haben wir 2 Bedingungen. Einmal muss das Argument der Sinusfunktion dimensionslos sein, dieses ergibt

\begin{displaymath}
1 = [m][s]^{i} \left[ \frac{m}{s^{2}} \right]^{l} \; \; \; \rightarrow \; \; \;
1+l = 0 \; \; \; und \; \; \; i-2l = 0.
\end{displaymath}

Zum anderen muss der Faktor vor der Sinusfunktion die Dimension einer Länge haben, also

\begin{displaymath}[m]= \left[ \frac{m}{s^{2}} \right]^{n} [s]^{j} \; \; \; \rightarrow \; \; \;
n-1 = 0 \; \; \; und \; \; \; j-2 = 0.
\end{displaymath}

Zusammen ergeben diese Bedingungen $n=1$, $j=2$, $l=-1$, und $i=-2$.
Aufgabe 2: Als Ansatz setzen wir allgemein $\vec{v} = v_{x}\vec{e}_{x} + v_{y}\vec{e}_{y}
+ v_{z} \vec{e}_{z}$. Der Vektor $\vec{v}$ soll orthogonal (senkrecht) auf $\vec{u}$ und $\vec{w}$ stehen, d.h. die beiden Skalarprodukte $\vec{u}\cdot \vec{v}$ und $\vec{w} \cdot \vec{v}$ müssen verschwinden. Diese Bedingungen führen auf

\begin{displaymath}
\vec{u} \cdot \vec{v} = v_{x} + v_{y} = 0 \; \; \; \; \; und \; \; \; \; \;
\vec{w} \cdot \vec{v} = v_{y} + v_{z} = 0
\end{displaymath}

Damit erhalten wir $v_{y} = - v_{x}$ und $v_{z} = -v_{y} = v_{x}$. Die orthogonalen Vektoren sind also $\vec{v} = v_{x} (\vec{e}_{x} - \vec{e}_{y} + \vec{e}_{z})$ mit beliebigem $v_{x}$. Für einen Einheitsvektor gilt $\vec{v} \cdot \vec{v} = 1$, d.h. $\vec{v} \cdot \vec{v} = v_{x}^{2}(1 + 1 + 1)= 3 v_{x}^{2} =1$ oder $v_{x} = \pm 1/\sqrt{3}$. Die Lösung ist also

\begin{displaymath}
\vec{v} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} (\vec{e}_{x} - \vec{e}_{y} + \vec{e}_{z}).
\end{displaymath}

Aufgabe 3: a) Gesucht ist

\begin{displaymath}
\vec{r}(t) = \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}...
... \begin{array}{c} x_{0} \\ y_{0} \\ z_{0}
\end{array} \right).
\end{displaymath}

Wegen

\begin{displaymath}
\frac{(x-x_{0})^{2}}{(a/\omega)^{2}} + \frac{(y-y_{0})^{2}}{(b/\omega)^{2}} =1
\end{displaymath}

ergibt die Projektion auf die x-y- Ebene eine Ellipse.

b) Die Beschleunigung ist

\begin{displaymath}
\vec{a}(t) = \left( \begin{array}{c} a_{x} \\ a_{y} \\ a_{z}...
...ega t) \\ -a \omega \; sin(\omega t) \\
q \end{array} \right)
\end{displaymath}

Der Körper wird also insbesondere in z- Richtung mit konstanter Beschleunigung $q$ bewegt.
Aufgabe 4: In der folgenden Skizze ist $L_{1}$ die Strecke des Schiffes bis zur Umkehr, $L_{2}$ die Strecke des Schiffes bis zur Bergung der Kiste,

Damit ist $L=5 km = L_{1}-L_{2}$. Wenn $v$ die Geschwindigkeit des Stromes ist und $v_{S}$ die Geschwindigkeit des Schiffes, so gelten die drei Gleichungen $v_{S} + v = L_{1}/t_{1}$, $v_{S}-v = L_{2}/t_{2}$ und $v = L/(t_{1}+t_{2})$. Aus den beiden ersten Gleichungen folgt

\begin{displaymath}
v = \frac{L}{2 t_{1}} + \frac{L_{2}}{2} \left( \frac{1}{t_{1}} - \frac{1}{t_{2}} \right).
\end{displaymath}

Dieser Ausdruck ist nur dann mit der dritten Gleichung verträglich, wenn $t_{1} = t_{2}$ ist, d.h. $v = L/(2t_{1})$. Mit $L = 5 \; km$ und $t_{1} = 0,5 \; h$ folgt $v = 5 \; km/h$.
Aufgabe 5: 12 Knoten sind $12 \cdot 1,85 \; km/h = 6,17 \; m/s$. Wir wählen ein Koordinatensystem mit x- Achse nach Osten und y- Achse nach Norden.

Schiff und Wind haben dann die Geschwindigkeiten

\begin{displaymath}
\vec{v}_{Schiff} = \left( \begin{array}{c} -6,17 \; m/s \\ 0...
...array}{c} 2,47 \; m/s \\ 2,47 \; m/s \\ 0 \end{array} \right).
\end{displaymath}

Der auf dem Schiff gemessene scheinbare Wind ist

\begin{displaymath}
\vec{v} = \vec{v}_{Wind} - \vec{v}_{Schiff} = \left( \begin{array}{c} 8,64 \; m/s \\ 2,47 \; m/s \\
0 \end{array} \right).
\end{displaymath}

mit $\vert\vec{v}\vert = v = 9 \; m/s$. Das Skalarprodukt zwischen scheinbarem Wind und Fahrtrichtung ist $\vec{v} \cdot \vec{v}_{Schiff} = \vert\vec{v}\vert \cdot \vert\vec{v}_{Schiff}\vert cos\varphi$ und damit der Winkel $cos\varphi = -0,96$ oder $\varphi = 164^{o}$.



Harm Fesefeldt
2007-07-31