Übungen am 23.10.2003
Aufgabe 1:
In den folgenden Gleichungen sei eine Länge, eine Zeit,
eine Geschwindigkeit, eine Beschleunigung und eine
dimensionslose Zahl:
Bestimmen Sie für die jeweiligen Gleichungen die von Null verschiedenen
kleinsten Zahlen und .
Aufgabe 2:
Gegeben seien 2 Vektoren
und
, wobei , und
die Einheitsvektoren entlang der Achsen eines rechtwinkligen
Koordinatensystems sind. Bestimmen Sie die Einheitsvektoren, die sowohl auf
als auch auf senkrecht stehen.
Aufgabe 3:
Die Geschwindigkeit eines Körpers werde in einem rechtwinkligen
Koordinatensystem durch folgende Gleichung beschrieben:
a) Berechnen Sie den Ortsvektor , der die Bahn des Körpers
im Raum beschreibt. Skizzieren Sie die Projektion der Bahn in die - -
Ebene.
b) Welche Beschleunigungen wirken auf den Körper ?
Aufgabe 4:
Ein Schiff fährt mit der Strömung auf einem Fluß. Unterhalb einer
Brücke verliert es eine Holzkiste. Nach einer halben Stunde Fahrtzeit
bemerkt der Kapitän den Verlust, kehrt um und nimmt 5 von der
Brücke entfernt die Kiste wieder an Bord. Wie groß ist die
Geschwindigkeit des Stromes, wenn das Schiff stromabwärts und
stromaufwärts mit der gleichen Geschwindigkeit relativ zum Wasser
fährt.
Aufgabe 5:
Ein Schiff segelt bei ruhigem Wasser mit einer Geschwindigkeit von
12 Knoten hart am Wind nach Westen. Der Wind kommt aus Südwesten mit
einer Geschwindigkeit von 3,5 . Welche Windgeschwindigkeit und welche
Windrichtung relativ zur Fahrtrichtung messen Sie als Skipper auf dem
Schiff ?
Lösungen zu den Übungen am 23.10.2003
Aufgabe 1: Die Dimensionen müssen auf beiden Seiten der Gleichung übereinstimmen.
Dieses ergibt:
Daher muss und sein, d.h. und .
Also: und , oder , und .
c) Hier haben wir 2 Bedingungen. Einmal muss das Argument der Sinusfunktion dimensionslos sein,
dieses ergibt
Zum anderen muss der Faktor vor der Sinusfunktion die Dimension einer Länge haben, also
Zusammen ergeben diese Bedingungen , , , und .
Aufgabe 2: Als Ansatz setzen wir allgemein
. Der Vektor soll orthogonal (senkrecht) auf und
stehen, d.h. die beiden Skalarprodukte
und
müssen verschwinden. Diese Bedingungen führen auf
Damit erhalten wir
und
. Die orthogonalen Vektoren sind also
mit beliebigem . Für
einen Einheitsvektor gilt
, d.h.
oder
.
Die Lösung ist also
Aufgabe 3: a) Gesucht ist
Wegen
ergibt die Projektion auf die x-y- Ebene eine Ellipse.
b) Die Beschleunigung ist
Der Körper wird also insbesondere in z- Richtung mit konstanter Beschleunigung bewegt.
Aufgabe 4: In der folgenden Skizze ist die Strecke des Schiffes bis zur Umkehr,
die Strecke des Schiffes bis zur Bergung der Kiste,
Damit ist
. Wenn die Geschwindigkeit des Stromes ist und
die Geschwindigkeit des Schiffes, so gelten die drei Gleichungen
,
und
. Aus den beiden ersten Gleichungen folgt
Dieser Ausdruck ist nur dann mit der dritten Gleichung verträglich, wenn
ist, d.h.
. Mit und
folgt .
Aufgabe 5: 12 Knoten sind
. Wir wählen ein
Koordinatensystem mit x- Achse nach Osten und y- Achse nach Norden.
Schiff und Wind haben dann die Geschwindigkeiten
Der auf dem Schiff gemessene scheinbare Wind ist
mit
. Das Skalarprodukt zwischen scheinbarem Wind und Fahrtrichtung
ist
und damit der
Winkel
oder
.
Harm Fesefeldt
2007-07-31