Lösungen zur Nachklausur am 5. März 2004

Aufgabe 1: (8 Punkte)
Mit dem folgenden Ersatzbild sieht man, daß es sich um einen einfachen horizontalen Wurf handelt, mit einer Wurfweite von $2d$. Höhe $h$ und die Zeit $t$ bis zum Auftreffen sind durch $h = (g/2) t^{2}$ miteinander verbunden. Die Geschwindigkeit $v_{x}$ in $x$- Richtung bleibt während des Wurfes erhalten und beträgt

$$v_{x} = \frac{2d}{t} = \frac{2d}{\sqrt{2 h/g}} = 15 \; m/s.$$

Aufgabe 2: (8 Punkte)
Wir legen den Koordinatenursprung in die erste Masse und erhalten

$$x_{S} = \frac{\sum_{i} m_{i} x_{i}}{\sum_{i} m_{i}} = \frac{... ...3kg \cdot 1m}{6kg} = \frac{4}{6} m = \frac{2}{3}m = 0,66 \; m.$$

Aufgabe 3: (9 Punkte)
a) Allgemein ist das Gewicht $G = m g(r)$ mit $g(r) = \gamma M/r^{2}$. Wegen

$$g(4R_{E}) = \gamma \frac{M}{16 R_{E}^{2}} = \frac{1}{16} g(R_{E})$$

folgt

$$G(4R_{E}) = \frac{1}{16} m g(R_{E}) = \frac{1}{16} \cdot 2 kg \cdot 10 \frac{m}{s^{2}} = 1,25 \; N.$$

b) Jetzt ist $\vec{F}_{F} + \vec{F}_{t} + \vec{G} = 0$ und $\vec{F}_{t} = - \vec{G}$. Daraus folgt $\vec{F}_{F} = 0$. Der Körper ist also schwerelos.

Aufgabe 4: (8 Punkte)
Die Reibungskraft einer Kugel bei laminarer Strömung ist $\vec{F}_{R} = - 6 \pi \eta r \vec{v}$. Wenn die Endgeschwindigkeit erreicht ist, wir $\vec{G} = - \vec{F}_{R}$ und daher $6 \pi \eta r \vec{v} = m \vec{g}$ oder

$$v = \frac{m g}{6 \pi \eta r} = \frac{20 \cdot 10^{-3} \; kg ... ... \; s \; N \; m^{-2} \; 6 \cdot 10^{-3}\; m} \approx 0,12 m/s.$$

Aufgabe 5: (9 Punkte)
Die Dehnung der Feder durch die Fliehkraft ist $F_{F} = m \omega^{2} r = m \omega^{2} (r_{0} +x)$. Diese wird durch die Hooksche Kraft $F_{H} = D'x$ kompensiert, wobei $D' = 2 D = 10 N/m$ sind. $r_{0} = L/2$ ist die halbe Länge.
Daraus folgt

$$D'x = m \omega^{2} (r_{0} + x) \; \; \; \; \; \rightarrow \;... ...' - m \omega^{2}} = \frac{m \omega^{2} L/2}{2D - m \omega^{2}}$$

Mit $m \omega^{2} = 2 kg/s^{2}$ folgt

$$x = \frac{2 kg/s^{2} \; 0,2m}{10 N/m - 2 kg/s^{2}} = 0,05 \; m$$

$$r = r_{0} + x = 0,25 \; m.$$

Der Drehimpuls ist

$$L = I \omega = 2 mr^{2} \omega = 0,125 \; kg \cdot m^{2}/s.$$

Aufgabe 6: (8 Punkte)
Die Längenänderung als Funktion der Temperatur ist $L = L_{0}(1 + \alpha T)$. Daher ist $dL/dT = L_{0} \alpha$ und $\Delta L = L_{0} \alpha \Delta T$. Die Spannung ist

$$\sigma = E \epsilon = E \frac{\Delta L}{L} \approx E \frac{\Delta L}{L_{0}} = E \alpha \Delta T.$$

Die Kraft auf die Halterung ist $F = \sigma A$ mit Querschnitt $A$, d.h.

$$F = E \alpha A \Delta T = 21,9 \cdot 10^{10} \; \frac{N}{m^{... ...^{2} \; 80 \; K \; = 38544 \; N \approx 3,9 \cdot 10^{4} \; N.$$