\documentstyle[11pt,german,uebung]{article}
\begin{document}
\briefkopf
\Large
\centerline{L\"osungsvorschl\"age zur \"Ubung Nr.8}
\large
\centerline{Besprechung: Donnerstag 8.Januar 2004}
\normalsize
\newline \vskip 2mm
{\bf Aufgabe 1:} \hspace{10cm} (7 Punkte) \newline
Erde und Mond bewegen sich auf Kreisbahnen um ihren gemeinsamen Schwerpunkt, daher 
gilt $m_{E} r_{1} = m_{M} r_{2}$. Mit $r = r_{1} + r_{2}$ folgt
\begin{eqnarray}
r_{1} &=& \frac{r}{1 + m_{E}/m_{M}} = 4700 \; km \nonumber \\
r_{2} &=& \frac{r}{1 + m_{M}/m_{E}} = 380000 \; km \nonumber 
\end{eqnarray}
\vskip 4cm
Das Bewegungszentrum liegt also noch innerhalb der Erdkugel. Diese 380000  $km$ werden
\"ublicherweise als Abstand von Erde und Mond angegeben. Das ist ersichtlich nicht ganz
richtig. \newline
b) Die Umlaufdauer des Mondes wird \"uber die Bewegungsgleichung 
\begin{displaymath}
m_{M} a_{r} = - \gamma \frac{m_{M} m_{E}}{r^{2}}
\end{displaymath}
bestimmt. Hier muss man jetzt aufpassen. Im Gravitationsgesetz steht der Abstand
$r = r_{1} + r_{2}$ zwischen Mond und Erde, w\"ahrend die Radialbeschleunigung 
des Mondes durch
\begin{displaymath}
a_{r} = \omega^{2} r_{2} = - \frac{4\pi^{2}}{T^{2}} r_{2} 
\end{displaymath}
gegeben ist. Damit findet man
\begin{displaymath}
T = \sqrt{ \frac{4 \pi^{2}}{\gamma} \frac{r^{3}}{m_{E} + m_{M}} } = 2,36 \cdot 10^{6} \; s
= 27,3 \; Tage.
\end{displaymath} 
\newpage
{\bf Aufgabe 2:} \hspace{10cm} (7 Punkte) \newline 
Beim Vorschlag von Obelix wird die f\"ur die Kreisbewegung erforderliche Radialkraft durch
die Gravitationskraft kompensiert
\begin{displaymath}
- m \frac{v^{2}}{R} = - \gamma \frac{m M}{R^{2}}
\end{displaymath}
Die erforderliche Geschwindigkeit ist
\begin{displaymath}
v = \sqrt{\frac{\gamma M}{R}}
\end{displaymath}
und die halbe Umlaufzeit betr\"agt
\begin{displaymath}
\frac{T}{2} = \frac{\pi R}{v} = \pi R \sqrt{\frac{R}{\gamma M}} 
= \frac{\pi}{\sqrt{\gamma (4/3) \pi \rho}}.
\end{displaymath}
Beim letzten Schritt wurde $M = (4/3) \pi R^{3}$ gesetzt.
Der Vorschlag von Asterix ist genau so einfach.
Die Kraft auf die Rohrpost beim Abstand $r$ vom Ermittelpunkt ist
\begin{displaymath}
F = - \gamma \frac{m M'}{r^{2}} = - \gamma \frac{4 \pi}{3} \rho m r.
\end{displaymath}
Die DGL ist
\begin{displaymath}
\frac{d^{2}r}{dt^{2}} + \gamma \frac{4\pi}{3} \rho r = 0
\end{displaymath}
Diese Gleichung ist uns wohlbekannt, n\"amlich die Schwingungsgleichung. Wir erhalten
\begin{displaymath}
\omega^{2} = \gamma \frac{4\pi}{3} \rho
\end{displaymath}
und daher die halbe Schwingungsdauer
\begin{displaymath}
\frac{T}{2} = \frac{\pi}{\omega} = \frac{\pi}{\sqrt{\gamma (4/3) \rho}}.
\end{displaymath}
Die Zeiten sind also in beiden F\"allen gleich. 
\newline \vskip 2mm
{\bf Aufgabe 3:} \hspace{10cm} (6 Punkte) \newline
Wir w\"ahlen einen Kreisring der Dicke $dr$ und Radius $r$:
\newline \vskip 4cm
Dieser hat die Masse $dm = (M/\pi R^{2}) 2 \pi r \; dr$ und erzeugt am Punkt $P$ den
Beitrag
\begin{displaymath}
d\Phi = - \gamma \frac{dm}{s} = - \gamma \frac{2M}{R^{2}} 
\frac{r \; dr}{\sqrt{x^{2}+r^{2}}}
\end{displaymath}
zum Potential. Integration \"uber die gesamte Fl\"ache ergibt:
\begin{displaymath}
\Phi(x) = - \gamma \frac{2M}{R^{2}} \int_{0}^{R} \frac{r dr}{\sqrt{x^{2}+r^{2}}}
= - \gamma \frac{2M}{R^{2}} \left( \sqrt{R^{2}+x^{2}} - x \right).
\end{displaymath}
F\"ur die Feldst\"arke gilt nach Vorlesung
\begin{displaymath}
\vec{g}(x) = - \frac{d\Phi}{dx} \vec{e}_{x},
\end{displaymath}
wobei wir den Einheitsvektor in $x$- Richtung eingef\"uhrt haben. Daher
\begin{displaymath}
\vec{g}(x) = - \gamma \frac{2M}{R^{2}} \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{1 +R^{2}/x^{2}}} \right)
\vec{e}_{x}.
\end{displaymath}
Das Minuszeichen besagt, dass die Feldst\"arke zur Platte hin gerichtet ist. 
\newline \vskip 2mm  
{\bf Aufgabe 4:} (Bonusaufgabe) \hspace{7.5cm} (5 Punkte) \newline
Die Formel (5) auf Seite 115 des Skripts lautet in den Schnittpunkten der gro"sen Halbachse
mit der Ellepsenbahn ($dr/dt = 0$ in den Punkten $A$ und $B$):
\begin{eqnarray}
W_{ges,A} &=& \frac{1}{2} \frac{L^{2}}{m r_{A}^{2}} - \gamma \frac{m M}{r_{A}} \nonumber \\
W_{B,ges} &=& \frac{1}{2} \frac{L^{2}}{m r_{B}^{2}} - \gamma \frac{m M}{r_{B}} \nonumber 
\end{eqnarray}
\vskip 4cm
Der Drehimpuls ist konstant, ist in den Punkten $A$ und $B$ also gleich. Da auch die
Gesamtenergie w\"ahrend der Bewegung konstant ist, gilt:
\begin{displaymath}
\frac{1}{2} \frac{L^{2}}{m r_{A}^{2}} - \gamma \frac{m M}{r_{A}} 
= \frac{1}{2} \frac{L^{2}}{m r_{B}^{2}} - \gamma \frac{m M}{r_{B}} 
\end{displaymath}
F\"ur den Drehimpuls erhalten wir
\begin{displaymath}
\frac{1}{2} \frac{L^{2}}{m} = \gamma m M \frac{r_{A} r_{B}}{r_{A}+r_{B}}.
\end{displaymath}
Einsetzen dieses Ausdrucks in die Formel f\"ur $W_{ges}$ ergibt:
\begin{displaymath}
W_{ges} = \gamma m M \frac{r_{A}r_{B}}{r_{A} + r_{B}} - \gamma \frac{m M}{r_{A}} 
= - \gamma \frac{m M}{r_{A}+ r_{B}}  = - \gamma \frac{m M}{2 a}.
\end{displaymath} 
\end{document}
