Lösungsvorschläge zur Übung Nr.5

Besprechung: Donnerstag 4.Dezember 2003

Aufgabe 1: (5 Punkte)
Es handelt sich um einen zentralen, elastischen Stoß, daher erhalten wir für die Geschwindigkeiten der beiden Massen nach dem Stoß:

$$v_{1}' = \frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}} v_{1} = \frac{9}{11... ...v_{2}' = \frac{2m_{1}}{m_{1}+m_{2}} v_{1} = frac{2}{11} v_{1}$$

$v_{1}$ folgt aus dem Energiesatz ( $(1/2)m_{1} v_{1}^{2} = m_{1} g h = m_{1} g L$) zu

$$v_{1} = \sqrt{2 g L}.$$

a) Einsetzen ergibt

$$v_{2}' = \frac{2}{11} \sqrt{2gL} = 0,81 \; m/s.$$

b) Die kinetische Energie der Masse $m_{1}$ nach dem Stoß,

$$E_{kin,1}' = \frac{1}{2} m_{1}v_{1}'^{2} = \frac{1}{2} m_{1} \left( \frac{9}{11} \right)^{2} 2 g L$$

wird beim Maximalausschlag umgesetzt in potentielle Energie $E_{pot,1}' = m_{1} g h$,

$$\frac{1}{2} m_{1} \left( \frac{9}{11} \right)^{2} 2 g L = 2 g h,$$

oder

$$\frac{h}{L} = \left( \frac{9}{11} \right)^{2} = 0,67.$$

Der Winkel schliesslich ist( $cos\varphi_{max} = 1 - h/L$):

$$\varphi_{max} = arccos(0,33) = 70,7^{o}.$$

Aufgabe 2: (7 Punkte)
a) Aus der Abbildung folgt:

$$tg(\varphi) = \frac{F_{z}}{F_{g}} = \frac{m \omega^{2} (r_{0} + l \; sin(\varphi))}{mg}$$

oder

$$g \; tg(\varphi) = \omega^{2} r_{0} + \omega^{2} l \; sin(\varphi).$$

Dieses ist eine transzendente Gleichung, die wir graphisch lösen:

Die Näherungslösung ist $\varphi \approx 80,6^{o}$.
b) Für $r_{0} = 0$ ist $g \; tg(\varphi) = \omega^{2} l \; sin(\varphi)$ oder

$$cos(\varphi) = \frac{g}{\omega^{2} l}.$$

In dieser Formel ist $cos(\varphi) = 1$ und damit $\varphi = 0$ für die Grenzfrequenz $\omega_{g} = \sqrt{g/l}$. Dieses ist genau die Frequenz des linearen zweidimensionalen Pendels, das System geht in eine zweidimensionale Schwingung über. Physikalisch bedeutet das, dass die Komponente der Schwerkraft senkrecht zum Pendel grundsätzlich größer wird als die Komponente der Fliehkraft.

Mit

$$F_{g\perp} = m g \; sin(\varphi)$$

$$F_{F\perp} = m \omega^{2} l \; sin(\varphi) cos(\varphi)$$

gilt für $\omega^{2} < g/l$ die Abschätzung:

$$F_{F\perp} < m \frac{g}{l} l sin(\varphi) cos(\varphi) \leq mg sin(\varphi) = F_{g\perp},$$

also

$$F_{F\perp} < F_{g\perp} \; \; \forall \omega^{2} < \frac{g}{l}.$$

Aufgabe 3 (8 Punkte)
Zur Lösung der Aufgabe setzt man für einen der Wagen die Kraftgleichung aus Federkraft $\vec{F_{f}}$ und Zentrifugalkraft $\vec{F_{z}}$ an:

$$\frac{1}{2} F_{f} + F_{z} = m \frac{d^{2}r}{dt^{2}},$$

wobei $r$ die Position des Wagens auf der Schiene von der Drehachse aus gemessen ist. Wir brauchen keine Vektoren zu schreiben, da beide Kräfte in Richtung von $\vec{r}$ zeigen. Auf einen der beiden Wagen wirkt nur die halbe Federkraft. Daher gilt:

$$- \frac{1}{2} D x + m\omega^{2} r = m \frac{d^{2}r}{dt^{2}}$$

Mit $r = x + a$ können wir auch schreiben:

$$- D(r-a) + 2 m \omega^{2} r = 2 m \frac{d^{2}r}{dt^{2}}.$$

Als erstes bestimmen wir die Gleichgewichtslage $r_{0}$ des Wagens. In diesem Fall wirkt keine Beschleunigung, also $d^{2}r/dt^{2} = 0$ und

$$r_{0} = \frac{-D a}{2m \omega^{2} - D}.$$

Da $r_{0} > 0$ sein muss, existiert nur eine Gleichgewichtslage für $a>0$ und $D > 2 m \omega^{2}$ (1. Fall) oder $a < 0$ und $D < 2 m \omega^{2}$ (2. Fall). Für $2 m \omega^{2} = D$ und $a = 0$ ist der Wagen immer im Gleichgewicht (indifferentes Gleichgewicht).
Zur Untersuchung der Stabilität der Gleichgewichtslagen lenken wir den Wagen um eine kleine Strecke $\epsilon$ aus und untersuchen die Reaktion des Wagens auf diese Störung.

$$r(t) = r_{0} + \epsilon(t).$$

Die Bewegungsgleichung wird zu

$$-D (r_{0} + \epsilon - a) + 2 m \omega^{2} (r_{0} + \epsilon) = 2 m \frac{d^{2}\epsilon}{dt^{2}}.$$

Setzt man noch für $r_{0}$ die bereits oben angeschriebene Lösung ein, so folgt nach einigen Umformungen die DGL

$$(2 m \omega^{2} - D) \epsilon = 2 m \frac{d^{2}\epsilon}{dt^{2}}.$$

Falls $D < 2 m \omega^{2}$ (2. Fall) wird der Wagen bei einer positiven Auslenkung $\epsilon > 0$ weiter nach aussen beschleunigt ( $d^{2}\epsilon/dt^{2}>0$). Dieser Fall ist also instabil.
Falls $D > 2 m \omega^{2}$ (1. Fall) wird der Wagen bei einer positiven Auslenkung $\epsilon > 0$ zurück nach innen, also zur Gleichgewichtslage hin, beschleunigt ( $d^{2}\epsilon/dt^{2}<0$). Dieser Fall ist also stabil und kann als Fliehkraftregler benutzt werden.