\documentstyle[11pt,german,uebung]{article}
\begin{document}
\briefkopf
\Large
\centerline{L\"osungsvorschl\"age zur \"Ubung Nr.4}
\large
\centerline{Besprechung: Donnerstag 27.November 2003}
\normalsize
\newline \vskip 2mm
{\bf Aufgabe 1:} \hspace{10cm} (7 Punkte) \newline
Wie in der Vorlesung diskutiert, bleibt die Impulskomponenten senkrecht zur Verbindungslinie
der beiden Kugeln unver\"andert:
\begin{eqnarray}
p_{1T}' &=& p_{1T} = p_{1} sin\beta \nonumber \\
p_{2T}' &=& p_{2T} = 0 \nonumber 
\end{eqnarray}
F\"ur die Kompenente entlang der Verbindungslinie kann man die Formeln des zentralen Stosses
anwenden:
\begin{eqnarray}
v_{1L}' &=& \frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}} v_{1L} + \frac{2m_{2}}{m_{1}+m_{2}} v_{2L}
= 0 \nonumber \\
v_{2L}' &=& \frac{m_{2}-m_{1}}{m_{1}+m_{2}} v_{2L} + \frac{2m_{1}}{m_{1}+m_{2}} v_{1L} = v_{1L} 
\nonumber 
\end{eqnarray}
\vskip 4cm
a) Daraus folgt zun\"achst $sin\alpha_{2} = d/(2r)$ oder $\alpha = 37^{o}$.    \newline
b) Da f\"ur gleiche Massen $v_{1L}' = 0$ ist (siehe oben), stehen $\vec{p_{1}}'$ und 
$\vec{p_{2}}'$ senkrecht aufeinander: \newline \vskip 3cm
c) Daher auch $\alpha_{1} = 90^{o} - \alpha_{2} = 53^{o}$. \newline
d) Die Geschwindigkeiten sind 
\begin{eqnarray}
v_{1}' &=& \sqrt{v_{1L}'^{2} + v_{1T}'^{2}} = v_{1T} = v_{1} sin\beta = v_{1} sin\alpha_{2} = 6 \; cm/s
\nonumber \\
v_{2}' &=& \sqrt{v_{2L}'^{2} + v_{2T}'^{2}} = v_{1L} = v_{1} cos\beta = v_{1} cos\alpha_{2} = 8 \; cm/s
\nonumber 
\end{eqnarray} 
\newline \vskip 2mm
{\bf Aufgabe 2:} \hspace{10cm} (7 Punkte) \newline
Wir hatten in der Vorlesung (siehe Skript Seite 52)
\begin{eqnarray}
W &=& \frac{1}{2} D A^{2} = constant \nonumber \\
\overline{W_{kin}} &=& \frac{1}{2} m \omega^{2} A^{2} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} sin^{2}(\omega t) dt
\nonumber \\
\overline{W_{pot}} &=& \frac{1}{2} D A^{2} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} cos^{2}(\omega t) dt \nonumber
\end{eqnarray}
Aus einer Tabelle entnehmen wir die unbestimmten Integrale:
\begin{eqnarray}
\int cos^{2}(\omega t) dt &=& \frac{t}{2} + \frac{1}{4 \omega } sin(2\omega t) \nonumber \\
\int sin^{2}(\omega t) dt &=& \frac{t}{2} - \frac{1}{4 \omega } sin(2\omega t) \nonumber 
\end{eqnarray}
Dann folgt
\begin{eqnarray}
\frac{1}{T} \int_{0}^{T} sin^{2}(\omega t) dt &=& \frac{1}{T} \left( \frac{T}{2} - \frac{1}{4 \omega}
sin(2\omega T) \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{4\omega T} sin(2\omega T) \nonumber \\
\frac{1}{T} \int_{0}^{T} cos^{2}(\omega t) dt &=& \frac{1}{T} \left( \frac{T}{2} + \frac{1}{4 \omega}
sin(2\omega T) \right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4\omega T} sin(2\omega T) \nonumber
\end{eqnarray}
Wegen $\omega^{2} = D/m$ und $T = 2\pi/\omega$ folgt
\begin{eqnarray}
\frac{1}{T} \int_{0}^{T} sin^{2}(\omega t) dt &=& \frac{1}{2} - \frac{1}{8 \pi} sin(4\pi) = \frac{1}{2}
\nonumber \\
\frac{1}{T} \int_{0}^{T} cos^{2}(\omega t) dt &=& \frac{1}{2} + \frac{1}{8 \pi} sin(4\pi) = \frac{1}{2}
\nonumber 
\end{eqnarray}
Insgesamt also
\begin{eqnarray}
\overline{W_{kin}} &=& \frac{1}{2} m \omega^{2} A^{2} \frac{1}{2} = \frac{1}{4} D A^{2} \nonumber \\
\overline{W_{pot}} &=& \frac{1}{2} D A^{2} \frac{1}{2} = \frac{1}{4} D A^{2} \nonumber 
\end{eqnarray}
und $\overline{W_{kin}} = \overline{W_{pot}} = W/2$.
\newline \vskip 2mm
{\bf Aufgabe 3:} \hspace{10cm} (6 Punkte) \newline 
F\"ur die Feder unter dem Einfluss der Schwerkraft gilt das Kr\"aftegleichgewicht
\begin{displaymath}
m\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + D x + m g = 0.
\end{displaymath}
Dieses k\"onnen wir schreiben
\begin{displaymath}
\frac{d^{2}}{dt^{2}} \left( x + \frac{mg}{D} \right) + \frac{D}{m} \left( x + \frac{mg}{D} \right) = 0.
\end{displaymath}
$x' = x + mg/D$ erf\"ullt also wieder die normale Schwingungsgleichung, wobei $x_{0} = mg/D$ die
Ruhelage unter dem Einfluss der Schwerkraft ist. Also z.B.
\begin{displaymath}
x = - x_{0} + A \; cos(\omega t).
\end{displaymath}
Kreisfrequenz $\omega$ und Schwingungsdauer $T$
\"andern sich nicht. \newline \vskip 2mm
{\bf Aufgabe 4:} (Bonusaufgabe) \hspace{7,5cm} (5 Punkte) \newline
Am einfachsten l\"ost man diese Aufgabe wieder im einem Koordinatensystem mit der schiefen
Ebene als $x$- Achse: \newline \vskip 4cm
Die Beschleunigung des Wagens ist dann:
\begin{displaymath}
\vec{a}_{W} = \left( \begin{array}{c} a_{W,x} \\ a_{W,y} \end{array} \right) =
\left( \begin{array}{c} g \; sin\alpha \\ 0 \end{array} \right)
\end{displaymath}
und die Beschleunigung der Kugel
\begin{displaymath}
\vec{a}_{K} = \left( \begin{array}{c} a_{K,x} \\ a_{K,y} \end{array} \right) =
\left( \begin{array}{c} g \; sin\alpha \\ -g \; cos\alpha \end{array} \right).
\end{displaymath}
Man sieht also, dass Wagen und Kugel in der $x$- Projektion exakt gleich laufen, 
da beide beim Abschuss der Kugel die gleiche Geschwindigkeitskomponente hatten,
\begin{displaymath}
v_{W,x} = v_{0} + gt \; sin\alpha = v_{K,x}.
\end{displaymath}
Daher muss die Kugel immer auf die Rohrm\"undung zur\"uckfallen. Die Zeit des Aufpralls folgt
aus der Bewegungsgleichung der $y$- Komponente.
\begin{eqnarray}
v_{W,y} &=& 0 \nonumber \\
v_{K,y} &=& u_{0} - gt \; cos\alpha \nonumber
\end{eqnarray}
Integration der zweiten Gleichung ergibt:
\begin{displaymath}
y_{K} = y_{0} + u_{0} t - \frac{g}{2} t^{2} \; cos\alpha.
\end{displaymath}
Die Bedingung $y_{K} = y_{0}$ ergibt die L\"osungen $t_{1} = 0$ (Abschuss) und
\begin{displaymath}
t_{2} = \frac{2 u_{0}}{g \; cos\alpha} = 0,47 \; s.
\end{displaymath}  
\end{document}
