Lösungsvorschläge zur Übung Nr.2

Besprechung: Donnerstag 13.November 2003

Aufgabe 1: (5 Punkte)
Um diese Aufgabe allgemein zu lösen, diskutieren wir zunächst die Hintereinanderschaltung und Parallelschaltung zweier beliebiger Federn mit Feserkonstanten $D_{1}$ und $D_{2}$. Bei der Hintereinanderschaltung (Serienschaltung) ist die Kraft in der gesamten Feder gleich. Daher folgt:

$$F = D_{Serie} x = D_{1} x_{1} = D_{2} x_{2},$$

wobei noch $x= x_{1} + x_{2}$.

Diese Gleichungen können umgeformt werden zu

$$D_{Serie}x = D_{Serie} (x_{1}+x_{2}) = D_{Serie} \left( x_{1... ...ht) = D_{Serie} \frac{D_{1}+D_{2}}{D_{2}} x_{1} = D_{1} x_{1}.$$

Daher ist also

$$D_{Serie} = \frac{D_{1}D_{2}}{D_{1}+D_{2}}$$

oder auch

$$\frac{1}{D_{Serie}} = \frac{1}{D_{1}} + \frac{1}{D_{2}}.$$

Bei der Parallelschaltung teilt sich die angreifende Kraft auf die beiden Federn auf, sofern die Länge bei der Nullpunktslage übereinstimmt.

Daher

$$F_{1} = D_{1} x_{1}, \; \; \; \; \; F_{2} = D_{2} x_{2}, \; \; \; \; \; F=F_{1}+F_{2}.$$

Mit $F= D_{Parallel} x$ und $x = x_{1}=x_{2}$ erhält man in diesem Fall einfach

$$D_{Parallel} x = D_{1} x_{1} + D_{2} x_{2} = (D_{1} + D_{2}) x.$$

Also

$$D_{Parallel} = D_{1} + D_{2}.$$

Die Serien- und Parallelschaltung von Widerständen in der Elektrizitätslehre läßt grüßen$\;$! Und nun zur eigentlichen Aufgabe:
a) Die Serienschaltung zweier gleicher Federn ist $D_{12} = D'^{2} /(D' + D') = D'/2$, daher folgt für die Serienschaltung dreier gleicher Ferdern:

$$D = \frac{D_{12} D'}{D_{12} + D'} = \frac{(D'/2) D'}{D'/2 + D'} = \frac{D'}{3}.$$

Daher sind die Federkonstanten der drei Einzelteile $D' = 3 D$.
b) Zwei Federteile parallel und eine dahinter in Serie ergibt

$$D'' = \frac{(D'+D')D'}{(D'+D') + D'} = \frac{6D \cdot 3D}{6D + 3D} = 2 D.$$

Aufgabe 2: (6 Punkte)
Zur Lösung dieser Aufgabe führt man am besten ein neues Bezugssystem ein, bei dem die $x'$- Achse entlang des Bergs zeigt und $y'$ dazu senkrecht steht. In diesem System ist die Geschwindigkeit des Balls beim Abschuss

$$\vec{v'}_{0} = \left( \begin{array}{c} v_{0,x'} \\ v_{0, y'}... ...{c} v_{0} \; cos\beta \\ v_{0} \; sin\beta \end{array} \right)$$

und die Gravitationsbeschleunigung

$$\vec{g'} = - g \left( \begin{array}{c} sin\alpha \\ cos\alpha \end{array} \right).$$

Der Ortsvektor der Flugbahn ist dann im gestrichenen System

$$\vec{r'} = \left( \begin{array}{c} x' \\ y' \end{array} \rig... ... \; sin\beta - (1/2) g t^{2} \; cos\alpha \end{array} \right).$$

Der Ball trifft auf den Abhang, wenn $y' = 0$ wird. Daraus folgt die Zeit bis zum Auftreffen:

$$T = \frac{2 v_{0} \; sin\beta }{g \; cos\alpha }$$

und die Strecke $s$ zu

$$s = v_{0} \; cos\beta \frac{2 v_{0} \; sin\beta}{g \; cos\al... ...a \frac{4 v_{0}^{2} \; sin^{2}\beta}{g^{2} \; cos^{2}\alpha }$$

Aus der Extremalbedingung $ds/d\beta = 0$ folgt nach einigen Umformungen

$$tang(2\beta) = \frac{1}{tang(\alpha)}.$$

oder $\beta = \pi/4 - \alpha/2 = 45^{o} - 15^{o} = 30^{o}$.
Aufgabe 3: (4 Punkte)
Die Seilspannung im Teilstück $BC$ ist $F_{BC} = Mg$. Im Teilstück $AB$ sollte sie doppelt so groß sein, also $F_{AB} = 2 Mg$. Aus der Geometrie folgt bei $90^{o}$, dass $F_{AB}^{2} + F_{BC}^{2} = (mg)^{2}$. Daher folgt

$$(2Mg)^{2} +(Mg)^{2} = (mg)^{2}$$

oder $M = m/\sqrt{5} \approx 4,47 \; kg$.

Aufgabe 4: (5 Punkte)
a) Im Gegensatz zur vorherigen Aufgabe herrscht im Seil überall die Spannungskraft $F$. Durch die Rolle wird die Kraft lediglich in der Richtung umgelenkt. Daher folgen die Gleichungen

$$m_{1}g - F = m_{1} a_{1}$$

$$m_{2}g - F = m_{2} a_{2}$$

Nach Elimination von $F$ und wegen $a = a_{1} = -a_{2}$ folgt:

$$a = \frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}} g.$$

b) Beim freien Fall ist $s_{0} = (g/2) T^{2}$, bei unserer Anordung dagegen $s = (a/2) T^{2}$. Bei $s/s_{0}= 1/2$ gilt $a = g/2$ und mit dem Ergebnis von Teil a)

$$\frac{g}{2} = \frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}} g.$$

oder $m_{1}/m_{2} = 3$.