Lösungsvorschläge zur Übung Nr.1
Besprechung: Donnerstag 6.November 2003

Aufgabe 1: (6 Punkte)
Wir gehen aus von der Formel

\begin{displaymath}
s = s_{0} + \frac{a}{2} t^{2}
\end{displaymath}

und ersetzen $t$ durch $t=v/a$, wobei dann allerdings $a$ als konstant angenommen werden muß. Dann gilt

\begin{displaymath}
s = s_{0} + \frac{v^{2}}{2a} \; \; \; \; \; \rightarrow \; \; \; \; \;
v^{2} = 2a(s-s_{0}).
\end{displaymath}

Die drei Geschwindigkeitsmessungen bezeichnen wir mit $v_{1} = 0,402 \; m/s$, $v_{2} = 0,694 \; m/s$ und $v_{3} = 0,901 \; m/s$ bei den Strecken $s_{1} = 0$, $s_{2} = 1,2 \; m$ und $s_{3} = 2,4 \; m$. Aus je zwei Messungen kann die unbekannte Beschleunigung $a$ eliminiert werden und $s_{0}$ berechnet werden:

\begin{displaymath}
(s_{0})_{i,j} = \frac{s_{i} v_{j}^{2} - s_{j} v_{i}^{2}}{v_{j}^{2}-v_{i}^{2}}, \; \; \; \; \;
i,j = 1,2,3; \; \; \; i \neq j.
\end{displaymath}

Die Ergebnisse sind

\begin{displaymath}
(s_{0})_{1,2} = - 0,61 \; m \; \; \; \; \; (s_{0})_{1,3} = - 0,60 \; m \; \; \; \; \;
(s_{0})_{2,3} = -0,55 \; m.
\end{displaymath}

Der Messwert $(s_{0})_{1,3}$ stimmt exakt mit dem experimentellen Wert überein. Hier hat man einerseits den größten Hebelarm, zum anderen kommt man mit der Messung bei $s_{1} = 0$ am dichtesten an den Startwert heran.

Aufgabe 2: (6 Punkte)
Auf die statistische Behandlung der Maximum-Likelohood und $\chi^{2}$- Methoden werden wir in einer späteren Übung noch einmal zurückkommen. Insbesondere müssen wir dann noch die statistischen Fehler der Schätzwerte bestimmen. Um die $\chi^{2}$- Funktion zu minimalisieren, müssen die partiellen Ableitungen nach den Paramteren $s_{0}$ und $v$ berechnet werden, und diese Gleichungen zu Null gesetzt werden:

$\displaystyle \frac{\partial \chi^{2}}{\partial s_{0}}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \sum_{i=1}^{5} 2 w_{i}(s_{0}+v t_{i} - s_{i}) = 0$  
$\displaystyle \frac{\partial \chi_{2}}{\partial v}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \sum_{i=1}^{5} 2 w_{i}(s_{0}+vt_{i} - s_{i}) t_{i} = 0$  

Da $2 w_{i} = w = konstant$, können diese aus den Gleichungen herausgenommmen werden. Dann folgt
$\displaystyle s_{0} \sum_{i=1}^{5} 1 + v \sum_{i=1}^{5} t_{i} - \sum_{i=1}^{5} s_{i}$ $\textstyle =$ $\displaystyle 0$  
$\displaystyle s_{0} \sum_{i=1}^{5} t_{i} + v \sum_{i=1}^{5} t_{i}^{2} - \sum_{i=1}^{5} s_{i} t_{i}$ $\textstyle =$ $\displaystyle 0$  

Wir rechnen die Summen numerisch aus und erhalten die beiden Gleichungen
$\displaystyle 5 s_{0} + 15 v - 84,9$ $\textstyle =$ $\displaystyle 0$  
$\displaystyle 15 s_{0} + 55 v - 286,1$ $\textstyle =$ $\displaystyle 0$  

Die Lösung dieses Gleichungssystems ergibt $s_{0} = 7,62 \; m$ und $v = 3,12 \; m/s$. Die exakten Werte waren $s_{0} = 7 \;m$ und $v = 3 \; m/s$. Die Strecken $s_{i}$ wurden normalverteilt mit $\sigma_{s} = 1 \; m$ verschmiert.



Aufgabe 3: (8 Punkte)
Der Wagen mit der Masse $m_{2}$ wird von der Kraft $F_{2}$ beschleunigt. Sofern wir das Seil als masselos ansehen, wirkt die gleiche Kraft in entgegengesetzter Richtung auf das Gewicht $m_{1}$, d.h. $F_{1} = F_{2}$. Die Masse $m_{1}$ unterliegt noch zusätzlich der Schwerkraft, daher

$\displaystyle F_{2}$ $\textstyle =$ $\displaystyle m_{2} a_{2}$  
$\displaystyle m_{1} g - F_{1}$ $\textstyle =$ $\displaystyle m_{1} a_{1}$  

Wegen $F_{1} = F_{2} = m_{2} a_{2}$ also

\begin{displaymath}
m_{1}g - m_{2} a_{2} = m_{1} a_{1}
\end{displaymath}

Als weitere Nebenbedingungen haben wir $a_{1} = a_{2} = a$, daher

\begin{displaymath}
m_{1} g - m_{2} a = m_{1} a \; \; \; \; \; \rightarrow \; \;...
...\; \;
a = \frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}} g \approx 2,5 \; m/s^{2}.
\end{displaymath}

Die am Seil angreifende Kraft ist

\begin{displaymath}
F = F_{1} = F_{2} = m_{2} a_{2} = 1,5 \cdot 2,5 \; N \approx 3,75 \; N.
\end{displaymath}

c) Im zweiten Fall greift auch an der Masse $m_{2}$ eine Schwerkraft an, und zwar $F_{g} = m_{2} g \; sin\alpha$. Das Gleichungssystem ändert sich wie folgt
$\displaystyle F_{2} - m_{2} g sin\alpha$ $\textstyle =$ $\displaystyle m_{2} a_{2}$  
$\displaystyle m_{1} g - F_{1}$ $\textstyle =$ $\displaystyle m_{1} a_{1}$  

Da wiederum $F_{1} = F_{2} = F$ und $a_{1} = a_{2} = a$ gilt, folgt
$\displaystyle a$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{m_{2} sin\alpha - m_{1}}{m_{1} + m_{2}} g \approx 2,8 \; m/s^{2}$  
$\displaystyle F$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{m_{1}m_{2}}{m_{1} + m_{2}} (1+sin\alpha) g \approx 6,4 \; N.$  

Welche Richtung hat die Bewegung ?





Harm Fesefeldt
2007-07-31