Weitere Aufgaben

Aufgabe 1: (8 Punkte)
Gegeben seien die beiden folgenden Wellenketten I und II mit unendlich vielen Gliedern, wobei $a$ der räumliche Abstand zwischen aufeinanderfolgenden Induktivitäten $L$ b.z.w. Kapazitäten $C$ ist. Ohmsche Widerstände können vernachlässigt werden.

Man kann zeigen, daß die Dispersion in den beiden Wellenketten durch

$$\omega_{I} = \frac{2}{\sqrt{L C}} \; sin\left( \frac{ka}{2} ... ...; \omega_{II} = \frac{1}{2 \sqrt{L C}} \; \frac{1}{sin(ka/2)}$$

gegeben ist (siehe z.B Berkeley Physics Course, Band 3).
a) Berechnen Sie die Phasen- und Gruppengeschwindigkeit als Funktion der Wellenlänge $\lambda$ und der Frequenz $\omega$ für diese beiden Wellenketten.
b) Wellen mit welchen Frequenzen werden ungedämpft durchgelassen ?
c) Wie groß ist insbesondere die Phasen- und Gruppengeschwindigkeit der beiden Wellenleiter bei den Grenzfreqenzen $\Omega_{I}$ und $\Omega_{II}$.
Aufgabe 2: (6 Punkte)
Gelbes Natriumlicht der Wellenlänge 589,6 $nm$ wird durch $CS_{2}$ gelenkt. Der Brechungsindex bei dieser Wellenlänge beträgt $n=1,628$ und die Dispersion $dn/d\lambda = -1,6\cdot 10^{-3} \; cm^{-1}$. Um wieviel Prozent unterscheiden sich Wellen- und Gruppengeschwindigkeit ?
Aufgabe 3: (6 Punkte) In einigen Tabellen wird der Brechungsindex mit $n = \lambda/(a + b \lambda^{2})$ als Funktion der Wellenlänge $\lambda$ in dem Material angegeben.
a) Wie hängt die Gruppengeschwindigkeit von dieser Wellenlänge ab ?
b) Für welchen Wellenlängenbereich kann diese Formel nur gelten ?

Lösungen

Aufgabe 1: (8 Punkte)
a) Die Phasengeschwindigkeit ist allgemein definiert als $v_{ph} = \omega /k$, in diesem Fall also bei der Wellenkette I:

$$v_{ph} = \frac{\omega}{k} = \frac{\Omega_{I}}{k} \; sin(\fra... ...\frac{\Omega_{I}}{2\pi} \lambda \; sin(\frac{\pi a}{\lambda}),$$

mit $\Omega_{I} = 2/\sqrt{LC}$. Wegen $\omega = \Omega_{I} \; sin(ka/2$ folgt $k = (2/a) \; arcsin(\omega/\Omega_{I})$ und daher auch

$$v_{ph} = \frac{a}{2} \; \frac{\omega}{arcsin(\omega/\Omega_{I})}.$$

Für die Gruppengeschwindigkeit erhalten wir zunächst als Funktion der Wellenlänge

$$v_{gr} = \frac{d\omega}{dk} = \frac{\Omega_{I} a}{2} \; cos(... ...a}{2}) = \frac{\Omega_{I} a}{2} \; cos(\frac{\pi a}{\lambda}).$$

Um $v_{gr}$ als Funktion der Frequenz zu bestimmen, bemerken wir zunächst, daß

$$\frac{dk}{d\omega} = \frac{2}{a} \; \frac{d}{d\omega} arcsin... ...c{2}{a\Omega_{I}} \frac{1} {\sqrt{1-(\omega/\Omega_{I})^{2}}}.$$

Daher folgt

$$v_{gr} = \frac{1}{dk/d\omega} = \frac{a\Omega_{I}}{2} \sqrt{1 - \left(\frac{\omega}{\Omega_{I}}\right)^{2}}.$$

Mit einer ähnlichen Rechnung folgt für den Wellenleiter II:

$$v_{ph} = \frac{\Omega_{II}}{2\pi} \lambda \frac{1}{sin(\pi a... ...mbda)} = \frac{a}{2} \frac{\omega}{arcsin(\Omega_{II}/\omega)}$$

mit $\Omega_{II} = 1/(2\sqrt{LC})$, und

$$v_{gr} = \frac{\Omega_{II}a}{2} \frac{ctg(\pi a/\lambda)} {s... ...{II}} \sqrt{1 - \left(\frac{\Omega_{II}}{\omega} \right)^{2}}.$$

b) Beide Wellenketten besitzen Grenzfrequenzen, außerhalb deren die Wellen gedämpft werden. Diesen Sachverhalt erkennt man folgendermaßen. Falls $\omega_{I} > 2/\sqrt{LC}$ oder $\omega_{II} < 1/(2\sqrt{LC})$, so muß $sin(ka/2) = p > 1$ sein. Dann ist aber $ka/2$ eine komplexe Zahl, d.h $k$ ist komplex. Setzt man dieses in eine Lösung $I = I_{0} e^{-i(\omega t - kx + \varphi)}$ ein, so erhält man einen Dämpfungsterm, d.h. der Strom wird gedämpft. Die Frequenzbereiche, bei denen sich die Wellen ungedämpft fortplanzen können, sind daher

$$Wellenkette \; I: \; \; \; \; \; \omega \leq \Omega_{I} = \f... ...\; \; \; \; \; \omega \geq \Omega_{II} = \frac{1}{2\sqrt{LC}}$$

c) Bei den Grenzfrequenzen verschwinden in beiden Fällen die Gruppengeschwindigkeiten, während die Phasengeschwindigkeiten $v_{ph} = \Omega_{I}a/\pi$ für die Wellenkette I und $v_{ph} = \Omega_{II}a/\pi$ für die Wellenkette II werden.
Vorbemerkung zu Aufgabe 2 und 3:
Zwischen $v_{ph}$ und $v_{gr}$ bestehen folgende Zusammenhänge:

$$v_{ph} = \frac{\omega}{k} = \lambda \nu, \; \; \; \; \; \; \... ...\frac{d\omega}{dk} = v_{ph} - \lambda \frac{dv_{ph}}{d\lambda}$$

Für Lichtwellen gilt noch $k = (\omega/c) n$ mit dem Brechungsindex $n$, wobei man beachten muß, daß $\lambda$ die Wellenlänge in dem Material ist. $\lambda$ ist dann insbesondere nicht die Vakuumwellenlänge. Phasen- und Gruppengeschwindigkeit sind

$$v_{ph} = \frac{\omega}{k} = \frac{c}{n},$$

$$v_{gr} = \frac{c}{n} - \lambda \frac{d(c/n)}{d\lambda} = \frac{c}{n} + \fr... ...n}{d\lambda} = v_{ph} \left( 1 + \frac{\lambda}{n} \frac{dn}{d\lambda} \right).$$

Im allgemeinen wird bei Disperionsformeln $n(\omega)$ oder $n(\lambda)$ allerdings die Vakuumwellenlänge $\lambda_{0} = n \lambda$ gemeint. Dann erhalten wir eine andere Formel für die Gruppengeschwindigkeit. Zunächst ist

$$\frac{1}{v_{gr}} = \frac{dk}{d\omega} = \frac{dk}{d\omega} = \frac{n}{c} + \frac{\omega} {c} \frac{dn}{d\omega}.$$

Wegen $\omega = 2\pi c/\lambda_{0}$ folgt $d\omega/d\lambda_{0} = -(2\pi c/\lambda_{0}^{2})$ und daher

$$\frac{1}{v_{gr}} = \frac{n}{c} - \frac{\lambda_{0}}{c} \frac... ...ft( 1 - \frac{\lambda_{0}}{n} \frac{dn}{d\lambda_{0}} \right).$$

Dieses kann man auch schreiben als

$$v_{gr} = v_{ph} \frac{1}{1 - \frac{\lambda_{0}}{n} \frac{dn}{d\lambda_{0}}}.$$

Aufgabe 2: (6 Punkte)
In diesem Beispiel ist mit $\lambda$ offensichtlich die Vakuumwellenlänge gemeint. Daher

$$\frac{v_{gr}-v_{ph}}{v_{gr}} = 1 - \frac{v_{ph}}{v_{gr}} = 1... ...= \frac{\lambda_{0}}{n} \frac{dn} {d\lambda_{0}} = - 5,8 \; %.$$

Aufgabe 3: (6 Punkte)
a) Im Gegensatz zu Aufgabe 2 ist hier ausdrücklich die Wellenlänge in dem Material gemeint. Daher folgt mit $dn/d\lambda = (a-b\lambda^{2})/(a+b\lambda^{2})$:

$$v_{gr} = \frac{c}{n} \left( 1 + \frac{\lambda}{n} \frac{dn}{... ...c{a-b\lambda^{2}}{a+b\lambda^{2}} \right) = \frac{2a}{\lambda}$$

b) Damit $v_{gr} \leq c$ ist, muß $\lambda \geq 2a$ sein. Nur für diesen Wellenlängenbereich kann diese Formel gelten.