Weitere Aufgaben

Aufgabe 1: (7 Punkte)
Zwei elektromagnetische Wellen gleicher Frequenz, aber unterschiedlicher Phase, breiten sich in der gleichen Richtung im Raum aus. Unter welchen Umständen addieren sich die Intensitäten der beiden Wellen so, daß die Gesamtintensität immer gleich der Summe der Einzelintensitäten der beiden Wellen ist, und zwar unabhängig von deren Phasenbeziehung ?
Aufgabe 2: (6 Punkte)
Das Strahlungsfeld einer bestimmten Antenne kann approximativ dargestellt werden durch

$$\vec{E} = \vec{e}_{\theta} \frac{\mu_{0} A}{4\pi r} sin\theta \; cos(\omega t - kr),$$

wobei $\vec{e}_{\theta}$ der Polarwinkel- Einheitsvektor und $A = 10^{6} \; A \; m/s$ ist. Wie groß ist der mittlere Energiefluß durch eine Kugeloberfläche mit Radius $R$ und Kugelmittelpunkt im Mittelpunkt der Antenne ?

Lösungen

Aufgabe 1: (7 Punkte)
Wir betrachten zwei elektromagnetische Wellen

$$\vec{E}_{1} = \vec{A}_{1} cos(\omega t), \; \; \; \; \; \; \; \; \vec{E}_{2} = \vec{A}_{2} cos(\omega t + \varphi).$$

Die Überlagerung beider ist

$$\vec{E} = \vec{E}_{1} + \vec{E}_{2} = \vec{A}_{1} cos(\omega t) + \vec{A}_{2} cos(\omega t + \varphi).$$

Das Quadrat der Feldstärke berechnet sich zu

$$\vec{E}^{2} = \vec{A}_{1}^{2} cos^{2}(\omega t) + \vec{A}_{2... ...cdot \vec{A}_{2}) \; cos(\omega t) \; cos(\omega t + \varphi).$$

Um die Intensität zu erhalten, muß dieser Ausdruck über die Zeit gemittelt werden. Dieses ergibt

$$I = \frac{1}{2} \vec{A}_{1}^{2} + \frac{1}{2} \vec{A}_{2}^{2... ...}_{2}) \; \overline{cos(\omega t) \; cos(\omega t + \varphi)}.$$

Der letzte Term in diesem Ausdruck soll verschwinden, unabhängig von der Phase $\varphi$. Das ist nur möglich, wenn $\vec{A}_{1} \perp \vec{A}_{2}$, d.h. die beiden Felder müssen senkrecht zueinander stehen.
Aufgabe 2: (6 Punkte)
Zunächst muß das Magnetfeld berechnet werden. Im allgemeinen Fall kann das mit Hilfe der Maxwellschen Gleichung $rot \vec{E} = - \partial \vec{B}/\partial t$ gelöst werden. Wir wählen hier einen anschaulichen Weg. Das Fernfeld des Dipols kann als ebene Welle betrachtet werden. Für eine solche Welle gilt bei rechtwinkligen Koordinaten $B_{z} = (1/c) E_{y}$, wenn die Ausbreitungsrichtung in der $x$- Achse und das elektrische Feld in Richtung der $y$- Achse liegt. Hier gilt für die Einheitsvektoren $\vec{e}_{z} = \vec{e}_{x} \times \vec{e}_{y}$. Entsprechend gilt für Kugelkoordinaten $\vec{e}_{\varphi} = \vec{e}_{r} \times \vec{e}_{\theta}$. Das $\vec{B}$- Feld liegt also in $\vec{e}_{\varphi}$- Richtung und hat den Wert

$$\vec{B} = \vec{e}_{\varphi} \frac{\mu_{0} A}{4\pi c r} \; si... ...varphi} \frac{A}{4\pi c r} \; sin\theta \; cos(\omega t - kr).$$

Der Energiefluß ist durch den Poynting- Vektor gegeben, $\vec{S} = \vec{E} \times \vec{H}$. Da $\vec{e}_{\theta} \times \vec{e}_{\varphi} = \vec{e}_{r}$, folgt

$$\vec{S} = \vec{e}_{r} \frac{\mu_{0} A^{2}}{16 \pi^{2} c r^{2}} sin^{2}\theta \; cos^{2}(\omega t - kr).$$

Diesen Ausdruck müssen wir über die Kugeloberfläche mit Radius $R$ integrieren, $\Phi = \oint_{O} \vec{S} \cdot d\vec{O}$ mit $d\vec{O} = \vec{e}_{r} R^{2} sin\theta \; d\theta \; d\varphi$. Alles eingesetzt, ergibt für den Energiefluß

$$\Phi = \frac{\mu_{0} A^{2}}{16\pi^{2} c R^{2}} cos^{2}(\omeg... ...phi = \frac{\mu_{0} A^{2}}{6 \pi c} \; cos^{2}(\omega t - kR).$$

Die zeitliche Mittelwertbildung über die Cosinus- Funktion ergibt einen weiteren Faktor $1/2$, sodaß schließlich

$$\overline{\Phi} = \frac{\mu_{0} A^{2}}{12 \pi c} \approx 10^{-4} \; Watt.$$