Wiederholungsaufgaben
Aufgabe 1: (8 Punkte)
In Polarkoordinaten lautet der Laplace- Operator:
a) Zeigen Sie, daß bei kugelsymmetrischen Problemen mit der
Wellenfunktion die Wellengleichung in der Form
geschrieben werden kann.
b) Zeigen Sie, daß die stehenden Wellen
und
Lösungen dieser Wellengleichung sind.
c) Berechnen Sie die Eigenfrequenzen eines mit Luft gefüllten
kugelförmigen Hohlraumes mit fester Wand und Radius .
Diskutieren Sie insbesondere, welche der beiden Lösungen aus Teil b)
in diesem Problem physikalisch sinnlos ist.
Die Schallgeschwindigkeit in Luft beträgt
.
Aufgabe 2: (6 Punkte)
Eine Schallquelle von bewegt sich mit der Geschwindigkeit
auf einen ruhenden Beobachter zu.
Der Schall wird jenseits des Beobachters an einer senkrechten Wand
reflektiert, die sich ihrerseits mit der
Geschwindigkeit
auf den Beobachter zubewegt.
a) Wie groß ist die Wellenlänge der von der Schallquelle emittierten
Welle in Luft ?
b) Wie groß ist die Wellenlänge der an der Wand reflektierten
Schallwelle ?
c) Wie groß ist die auf der bewegten Wand gemessene Tonfrequenz ?
d) Wie groß sind die beiden Tonhöhen, die der Beobachter wahrnimmt ?
Aufgabe 3: (6 Punkte)
Ein Polizeiwagen fährt mit
hinter einem
zivilen Wagen und mißt mit einem Radargerät der Frequenz
dessen Geschwindigkeit. Die Überlagerung des ursprünglichen
Radarsignals und des vom zivilen Wagens reflektierten Signals ergibt
eine Schwebung der Frequenz . Wie groß war die Geschwindigkeit
des zivilen Wagens ?
Lösungen
Aufgabe 1: (8 Punkte)
Aufgabe 2: (6 Punkte)
Wie in den Rechenübungen an einigen Beispielen diskutiert wurde,
verhält sich die Wand bei der Wiedergabe der reflektierten Welle
wie eine bewegte Schallquelle. Im folgenden sei die Geschwindigkeit
der Quelle, die Geschwindigkeit der Wand und die
Frequenz der Quelle.
a) Die Frequenz dieser bewegten Schallquelle ist
und daher
b)Ein auf der Wand sitzender Beobachter hört die Frequenz
Die Wand reflektiert also Schwingungen pro Sekunde. Diese
Reflexion ist gleichbedeutend mit einer Schallquelle in der Wand,
die sich auf den Beobachter zubewegt und die Frequenz
aussendet. Daher beobachtet der ruhende Hörer die Wellenlänge
c) Siehe Teil b) :
d) Die beiden Frequenzen sind
und
.
Aufgabe 3: (6 Punkte)
Wir nehmen zunächst an, daß der zivile Wagen schneller als das Polizeiauto
fährt. Dann bewegen sich Quelle und Beobachter auseinander und es gilt
für die reflektierte Welle
.
Dasselbe gilt noch mal beim Empfang im Polizeiwagen, daher
Da , probieren wir eine Reihenentwicklung:
mit
folgt für die
Relativgeschwindigkeit:
und für die Geschwindigkeit des zivilen Wagens
.
Harm Fesefeldt
2007-12-14