Wiederholungsaufgaben
Aufgabe 1: (8 Punkte)
In Polarkoordinaten lautet der Laplace- Operator:

\begin{displaymath}
\Delta = \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r}
\left(...
...{2} sin^{2}\theta} \frac{\partial^{2}}{\partial \varphi^{2}}
.
\end{displaymath}


a) Zeigen Sie, daß bei kugelsymmetrischen Problemen mit der Wellenfunktion $\xi(r,t)$ die Wellengleichung in der Form

\begin{displaymath}
\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} (r \xi) = c^{2}
\frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}} (r \xi)
\end{displaymath}

geschrieben werden kann.
b) Zeigen Sie, daß die stehenden Wellen $\xi_{1}(r,t) =
(A/r) sin(kr) \; cos(\omega t)$ und $\xi_{2}(r,t) =
(A/r) cos(kr) \; sin(\omega t)$ Lösungen dieser Wellengleichung sind.
c) Berechnen Sie die Eigenfrequenzen eines mit Luft gefüllten kugelförmigen Hohlraumes mit fester Wand und Radius $R = 5 \; m$. Diskutieren Sie insbesondere, welche der beiden Lösungen aus Teil b) in diesem Problem physikalisch sinnlos ist. Die Schallgeschwindigkeit in Luft beträgt $c = 330 \; m/s$.
Aufgabe 2: (6 Punkte)
Eine Schallquelle von $1 \; kHz$ bewegt sich mit der Geschwindigkeit $v_{Q} = 30 \; m/s$ auf einen ruhenden Beobachter zu. Der Schall wird jenseits des Beobachters an einer senkrechten Wand reflektiert, die sich ihrerseits mit der Geschwindigkeit $v_{W} = 60 \; m/s$ auf den Beobachter zubewegt.
a) Wie groß ist die Wellenlänge der von der Schallquelle emittierten Welle in Luft ?
b) Wie groß ist die Wellenlänge der an der Wand reflektierten Schallwelle ?
c) Wie groß ist die auf der bewegten Wand gemessene Tonfrequenz ?
d) Wie groß sind die beiden Tonhöhen, die der Beobachter wahrnimmt ?
Aufgabe 3: (6 Punkte)
Ein Polizeiwagen fährt mit $v = 100 \; km/h$ hinter einem zivilen Wagen und mißt mit einem Radargerät der Frequenz $140 \; MHz$ dessen Geschwindigkeit. Die Überlagerung des ursprünglichen Radarsignals und des vom zivilen Wagens reflektierten Signals ergibt eine Schwebung der Frequenz $5 \; Hz$. Wie groß war die Geschwindigkeit des zivilen Wagens ?
Lösungen
Aufgabe 1: (8 Punkte)
Aufgabe 2: (6 Punkte)
Wie in den Rechenübungen an einigen Beispielen diskutiert wurde, verhält sich die Wand bei der Wiedergabe der reflektierten Welle wie eine bewegte Schallquelle. Im folgenden sei $v_{Q}$ die Geschwindigkeit der Quelle, $v_{W}$ die Geschwindigkeit der Wand und $\nu_{Q}$ die Frequenz der Quelle.
a) Die Frequenz dieser bewegten Schallquelle ist $\nu_{Q}' = \nu_{Q}/(1-v_{Q}/c)$ und daher

\begin{displaymath}
\lambda_{Q}' = \frac{c}{\nu_{Q}'} = \frac{c}{\nu_{Q}} (1-v_{Q}/c) = 0,3 \; m.
\end{displaymath}

b)Ein auf der Wand sitzender Beobachter hört die Frequenz

\begin{displaymath}
\nu'' = \nu_{Q}' ( 1+v_{W}/c) = \nu_{Q} \frac{1+v_{W}/c}{1-v_{Q}/c}
= 1300 \; Hz.
\end{displaymath}

Die Wand reflektiert also $\nu''$ Schwingungen pro Sekunde. Diese Reflexion ist gleichbedeutend mit einer Schallquelle in der Wand, die sich auf den Beobachter zubewegt und die Frequenz $\nu''$ aussendet. Daher beobachtet der ruhende Hörer die Wellenlänge

\begin{displaymath}
\lambda''' = \frac{c}{\nu'''} = \frac{c}{\nu''} (1- v_{W}/c) = 0,2 \; m.
\end{displaymath}

c) Siehe Teil b) : $\nu'' = 1300 \; Hz.$
d) Die beiden Frequenzen sind $\nu' = c/\lambda' = 1100 \; Hz$ und $\nu''' = c/\lambda''' = 1590 \; Hz$.
Aufgabe 3: (6 Punkte)
Wir nehmen zunächst an, daß der zivile Wagen schneller als das Polizeiauto fährt. Dann bewegen sich Quelle und Beobachter auseinander und es gilt für die reflektierte Welle $\nu' = \nu \sqrt{(1+v_{r}/c)/(1-v_{r}/c)}$. Dasselbe gilt noch mal beim Empfang im Polizeiwagen, daher

\begin{displaymath}
\nu'' = \nu' \sqrt{\frac{1+v_{r}/c}{1-v_{r}/c}}
= \nu \frac{1+v_{r}/c}{1-v_{r}/c}.
\end{displaymath}

Da $v_{r}/c \ll 1$, probieren wir eine Reihenentwicklung:

\begin{displaymath}
\nu'' \approx \nu (1+ v_{r}/c)(1 + v_{r}/c \pm ...) \approx
\nu (1 + 2v_{r}/c) = \nu + \frac{2 \nu v_{r}}{c}.
\end{displaymath}

mit $\Delta \nu = \nu'' - \nu = 5 \; Hz$ folgt für die Relativgeschwindigkeit:

\begin{displaymath}
v_{r} = \frac{\Delta \nu \; c}{2 \nu} = 5,4 \; m/s \approx 20 \; km/h.
\end{displaymath}

und für die Geschwindigkeit des zivilen Wagens $v_{2} = 120 \; km/h$.



Harm Fesefeldt
2007-12-14