Fragen zur Wellengleichung

Frage 1:
a) Welche verschiedenen Wellenformen messen wir bei einem Erdbeben ?
b) Falls Sie bei Frage a) zwei verschiedene Wellenformen genannt haben, welche der beiden erreicht uns zuerst ?
c) Welche der beiden Wellenformen kann man auf einem Schiff auf dem Ozean messen ?
Frage 2:
Von einer punktförmigen Quelle breitet sich isotrop im Raum ein Wellenpaket aus. Wie könnte Ihrer Meinung nach die allgemeine Form dieses Wellenpaketes aussehen ? Diskutieren Sie nicht die allgemeine dreidimensionale Wellengleichung $\Delta \xi = (1/v^{2})\partial^{2}\xi/\partial t^{2}$, sondern raten Sie einen Ansatz und argumentieren mit der Energieerhaltung.
Frage 3:
Warum darf ein Flugzeug nicht über längere Zeit mit Schallgeschwindikeit fliegen ?
Frage 4:
Drei Lautsprecher senden harmonische Schallwellen gleicher Frequenz aus. An einem Punkt $P$, weit entfernt von den Lautsprechern, haben die drei Wellen gleiche Amplitude, aber verschiedene Phasen $\varphi_{1} = -2\pi/3$, $\varphi_{2} = 0$ und $\varphi_{3} = +2\pi/3$. Zeigen Sie, daß die Schallintensität am Ort $P$ zu allen Zeiten verschwindet.
Zur Erinnerung: $sin(\alpha \pm \beta) = sin(\alpha) \; cos(\beta) \pm cos(\alpha) \; sin(\beta)$.
Frage 5:
Die mittlere quadratische Geschwindigkeit der Moleküle eines zweiatomigen Gases beträgt bei einem Versuch 461 $m/s$. Wie groß ist die Schallgeschwindigkeit in diesem Gas ? Zur Erinnerung: die mittlere quadratische Geschwindigkeit ist (siehe Physik I) $\sqrt{\overline{v^{2}}} = \sqrt{3 R T/M_{Mol}}$.

Lösungen

Frage 1:
a) In festen Stoffen hat man longitudinale und transversale Wellen. Die Geschwindigkeiten sind $v_{long} = \sqrt{E/\rho}$ und $v_{trans} = \sqrt{G/\rho}$. Zusatzfrage: Was ist $E$ und was ist $G$ ?
b) Da $E = 2(1 + \mu) G$ mit $0 < \mu > 1/2$, ist immer $E > G$ und daher $v_{long} > v_{trans}$. Die longitudinale Welle erreicht uns zuerst.
c) In Wasser und Luft gibt es keine transversalen Wellen, daher messen wir auf dem Schiff nur longitudinale Wellen.
Frage 2:
Mit der Analogie zur eindimensionalen Wellenfunktion raten wir $\xi(r,t) = A f(r - vt)$. Wir nehmen das negative Vorzeichen im Argument der Funktion, da die Ausbreitung in Richtung von wachsendem $r$ verläuft. Die Energie in der Kugelschale mit dem Volumen $dV = 4 \pi r^{2} \; dr$ ist $E = \rho_{E} dV = (1/2) \rho A^{2} \omega^{2} dV = ((1/2)4 \pi \rho \omega^{2}) ( A^{2} r^{2} ) \; dr$, mit der Amplitude $A$ der Welle. Wegen Energieerhaltung darf diese Energie nicht von $r$ abhängen, daher muß $A(r)$ eine Funktion von $r$ sein, und zwar $A(r) = 1/r$. Die Lösung ist also $\xi(r,t) = (1/r) f(r-vt)$.
Frage 3:
Bewegt sich eine Schallquelle mit Schallgeschwindigkeit, so kann sich von ihr kein Schall ausbreiten. Es entsteht ein Energiestau am Ort der Schallquelle, der so groß werden kann, daß die Schallquelle zerstört wird. Es ist deshalb absolut notwendig, beim Übergang zum Überschall den kritischen Bereich so schnell wie möglich zu passieren.
Frage 4:
Die Wellen am Orte $P$ sind $\xi_{1} = A sin(kr - \omega t + 2\pi/3$, $\xi_{2} = A sin(kr - \omega t)$ und $\xi_{3} = A sin(kr - \omega t - 2\pi/3)$. Die Überlagerung der ersten und dritten Welle ergibt $\xi_{1} + \xi_{3} = 2 A cos(2\pi/3) sin(kr - \omega t)$ und daher $\xi_{1} + \xi_{2} + \xi_{3} = A [2 cos(2\pi/3) +1] sin(kr - \omega t)$. Da $cos(2\pi/3)= -1/2$ ist, folgt $2 cos(2\pi/3)+1 = 0$ und $\xi(r,t) = 0$.
Frage 5:
Die Schallgeschwindigkeit in einem Gas ist $c = \sqrt{\kappa RT/M_{mol}}$. Daher folgt $c = \sqrt{\kappa/3} \sqrt{\overline{v^{2}}} = 315 \; m/s$.