Wiederholungsaufgaben

Aufgabe 1: (7 Punkte)
Ein schweres Drahtseil der Länge $L = 10 \; m$ hängt unter dem Einfluß der Schwerkraft an einem Aufhängepunkt. Das untere Ende des Seils ist frei. Welche Zeit benötigt eine transversale Welle, um vom befestigten Ende des Seils zum freien Ende zu gelangen ?
Aufgabe 2: (7 Punkte)
Eine Feder mit der Federkonstanten $D = 4 \; N/m$ und der Länge $l = 1 \; m$ wird durch eine Kraft auf insgesamt $L = 1,50 \; m$ gedehnt. Die Masse der Feder beträgt $1 \; kg$.
a) Wie groß ist die Phasengeschwindigkeit für eine transversale Welle auf der Feder ?
b) Welche Zeit braucht diese Welle, um vom einen Ende der Feder zum anderen Ende zu gelangen ?
Aufgabe 3: (6 Punkte)
Eine Guitarre hat sechs Saiten in der Tonfolge $E$, $A$, $d$, $g$, $c'$ und $e'$, d.h. die ersten fünf sind im Abstand von Quarten, die letzte als große Terz gestimmt. Eine Quarte entspricht dem Frequenzverhältnis $\nu_{1}:\nu_{2} = 2^{5/12}$, eine große Terz dem Verhältnis $\nu_{1}:\nu_{2} = 2^{4/12}$. Berechnen Sie die notwendigen Drahtdurchmesser, wenn alle Saiten mit der gleichen Kraft $F = 30 \; N$ gespannt sind, die Phasengeschwindigkeiten den Frequenzverhältnissen entsprechen sollen und der dünnste Draht $0,5 \; mm$ Durchmesser hat.

Lösungen

Aufgabe 1: (7 Punkte)
Die Phasengeschwindigkeit ist in diesem Beispiel nicht mehr konstanr, da die Spannungskraft an einem bestimmten Punkt des Seils durch das Gewicht des unterhalb dieses Punktes hängenden Teilstückes $L-x$ gegeben ist. Wir messen also $x$ vom Aufhängepunkt ab. Diese Kraft ist $F = mg = (L-x)M g/L$. Die Phasengeschwindigkeit wird dann

$$v = \sqrt{\frac{F}{\mu}} = \sqrt{\frac{(L-x)}{L} M g \frac{L}{M}} = \sqrt{(L-x) g},$$

wobei wir für die lineare Massendichte $\mu = M/L$ gesetzt haben. Die Zeit zum Durchlaufen der Welle über das gesamte Seil ist dann

$$t = \int_{0}^{L} \frac{dx}{\sqrt{(L-x)g}} = 2 \sqrt{\frac{L}{g}} \approx 2 \; s.$$

Aufgabe 2: (7 Punkte)
Wie in Aufgabe 1 ist die Phasengeschwindigkeit durch $v = \sqrt{F/\mu}$ gegeben, mit der linearen Massendichte $\mu = M/L$. Die Spannungskraft ist $F = D(L-l)$ und daher

$$v = \sqrt{\frac{DL(L-l)}{M}} = \sqrt{3} \; m/s \approx 1,7 \; m/s.$$

Die Zeit wird zu

$$t = L/v = \sqrt{\frac{L M}{D(L-l)}} = 0,87 \; s.$$

Interessant ist, daß diese Zeit für eine sehr stark gespannte Feder $L >> l$ nicht mehr von $L$ abhängt. Die Phasengeschwindigkeit wird um denselben Betrag größer wie die Länge zunimmt.
Aufgabe 3: (6 Punkte)
Die Phasengeschwindigkeit ist

$$v = \sqrt{\frac{F}{\mu}} = \sqrt{\frac{F}{\pi r^{2} \rho}} \sim \frac{1}{d}.$$

$d$ ist hierbei der Durchmasser des Drahtes. Dann folgt der Reihe nach:

$$d_{c'} = 2^{4/12} d_{e'} = 0.63 \; mm$$

$$d_{g} = 2^{4/12} d_{c'} = 2^{4/12} 2^{5/12} d_{e'} = 2^{3/4} d_{e'} = 0,84 \; mm$$

$$d_{d} = 2^{5/12} d_{g} = 2^{5/12} 2^{3/4} d_{e'} = 2^{7/6} d_{e'} = 1,12 \; mm$$

$$d_{A} = 2^{5/12} d_{d} = 2^{5/12} 2^{7/6} d_{e'} = 2^{19/12} d_{e'} = 1,5 \; mm$$

$$d_{E} = 2^{5/12} d_{A} = 2^{5/12} 2^{19/12} d_{e'} = 2^{2} d_{e'} = 2 \; mm.$$